Окружность. Касательная к окружности.
Окружность – это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки О на данное расстояние.
Точка О называется центром окружности, а расстояние от О до любой точки окружности – ее радиусом.
Радиусом будем называть также любой отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Можно сказать, что окружность – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О на данное расстояние.
Фигура, ограниченная окружностью, называется кругом.
Или: круг – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О не более, чем на данное расстояние.
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности называется хордой этой окружности.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Очевидно, что длина диаметра равно удвоенному радиусу окружности.
О – центр ОС – радиус, АВ – диаметр, АВ = 2ОС, РК – хорда | круг |
Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности. Прямая и окружность могут находиться только в трех относительных положениях:
1) Расстояние центра окружности от прямой (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую) больше радиуса. Тогда точка С прямой удалена от центра больше, чем на радиус, и потому лежит вне круга, как и все остальные точки прямой (наклонные длиннее перпендикуляра). Т.о. прямая не имеет общих точек с окружностью или прямая и окружность не пересекаются.
|
|
|
2) Расстояние центра окружности от прямой меньше радиуса. В этом случае точка С прямой лежит внутри круга, и тогда прямая пересекается с окружностью в двух точках. Эта прямая называется секущей.
3) Расстояние центра окружности от прямой равно радиусу. Тогда точка С принадлежит и прямой, и окружности, все остальные точки прямой, будучи удалены от центра более, чем точка С, лежат вне круга. Значит, в этом случае прямая и окружность имеют только одну общую точку – основание перпендикуляра, опущенного из центра на прямую.
| B AAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAAwFAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAFwYAAAAA " stroked="f">
|
|
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности; общая точка называется точкой касания.
|
|
|
В следующей теореме объединим два взаимно обратных утверждения:
Т е о р е м а 1 (о характерном свойстве касательной к окружности)
1) Свойство касательной: если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2) Признак касательной: прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенному в эту точку, является касательной к окружности.
Доказательство.
| 1) Пусть р – касательная к окружности с центром О, А – точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р – касательная. Т.о. прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. |
2) Точка А, как конец радиуса, лежащий на окружности, принадлежит этой окружности; в то же время она принадлежит и прямой р. Значит, эта точка общая у окружности и прямой. Все остальные точки прямой р, как В, С и другие, отстоят от центра О больше, чем на радиус, так как ОВ, ОС и т.д. – наклонные, которые длиннее перпендикуляра ОА. Значит, у прямой р есть только одна точка А, общая с окружностью, что означает, что прямая р – касательная.
|
|
|
Отметим еще один факт, имеющий практическое значение:
Т е о р е м а 2. Если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.
|
Доказательство.
Пусть прямая АВ касается окружности в точ- ке М и параллельна хорде CD.
Требуется доказать, что È СМ = È МD.
Проведем через точку касания диаметр МЕ. Получим, что МЕ ^ АВ и, следовательно, МЕ ^ CD (так как АВ и CD параллельны).
Как известно, диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемую ею дугу пополам. Поэтому È СМ = È МD, ч.т.д.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С.
| Т е о р е м а 2.
Действительно, по свойству касательной ÐАВО = ÐАСО = = 900, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Эти треугольники имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС (радиусы окружности). Таким образом, треугольники равны. Следовательно, АВ = АС и ÐВАО = ÐСАО, что и требовалось доказать. |
На основании рассмотренных теорем можно решить задачу на построении касательной к окружности, проходящей через данную точку. Рассмотрим два случая:
1) Данная точка лежит на окружности. Тогда через эту точку проводим радиус и через конец его строим перпендикуляр к этому радиусу.
2) Данная точка лежит вне окружности.
| Соединим точки А и О. Разделим отрезок АО пополам и обозначим эту середину О 1. Проведем окружность с центром в точке О 1 и радиусом ОО 1. Через точки В и С, в которых построенная окружность пересекается с данной, проводим прямые АВ и АС. Эти прямые и будут касательными, т.к. углы ОВА и ОСА – прямые, как опирающиеся на диаметр. |
Окружность. Диаметр и хорды.
Окружность – это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки О на данное расстояние.
Точка О называется центром окружности, а расстояние от О до любой точки окружности – ее радиусом.
Радиусом будем называть также любой отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Можно сказать, что окружность – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О на данное расстояние.
Фигура, ограниченная окружностью, называется кругом.
Или: круг – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О не более, чем на данное расстояние.
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности называется хордой этой окружности.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Очевидно, что длина диаметра равно удвоенному радиусу окружности.
О – центр ОС – радиус, АВ – диаметр, АВ = 2ОС РК - хорда | круг |
Очевидно, что через одну точку плоскости можно провести сколько угодно окружностей как одного радиуса, так и разных радиусов.
Через две точки тоже можно провести множество окружностей, но центры их будут лежать только на серединном перпендикуляре к отрезку, определенному данными точками. При заданном радиусе окружностей будет только две.
|
| S О |
| Через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой другими словами, через вершины треугольника АВС), можно провести окружность, если существует такая точка О, которая одинаково удалена от точек А, В, С. Докажем, что такая точка существует и притом только одна. Точка, равноудаленная от точек А и С, должна |
лежать на перпендикуляре SD, проведенном через середину отрезка АС. Аналогично точка, равноудаленная от точек В и С, должна лежать на перпендикуляре QR, проведенном через середину отрезка ВС.
Значит, если существует точка, одинаково удаленная от точек А, В, С, то она должна лежать одновременно и на SD и на QR, т.е. должна совпадать с точкой их пересечения О. Прямые SD и QR всегда пересекаются, т.к. они перпендикулярны к пересекающимся прямым АС и ВС.
Т.о. точка О одинаково удалена от точек А, В, С. Если примем эту точку за центр, а отрезок ОА (ОВ, ОС) за радиус, то окружность пройдет через точки А, В, С.
Так как прямые SD и QR могут пересечься только в одной точке, то центр такой окружности может быть только один и длина ее радиуса определяется однозначно. Значит, искомая окружность – единственная.
Замечание. Если бы три точки лежали на одной прямой, то перпендикуляры SD и QR были бы параллельны и, значит, не могли бы пересечься. Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, нельзя провести окружность.
Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины, пересекаются в одной точке.
Действительно, точка О, находясь на одинаковом расстоянии от точек А и В, должна также лежать на перпендикуляре ОР, проведенном к стороне АВ через ее середину.
Т е о р е м а 2. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
| Проведем через центр окружности – точку О − произвольную прямую а. Пусть А – некоторая точка окружности. Если А лежит на прямой а, то в результате симметрии относительно а точка А останется на месте. Если же А не принадлежит прямой а, то в результате симметрии она перейдет в некоторую точку А 1, а отрезок ОА в отрезок ОА 1. Согласно свойству симметрии ОА = ОА 1, а значит, и точка А 1 принадлежит окружности. |
Но при этой симметрии точка А 1 перейдет в точку А. Т.о. при симметрии относительно прямой а точки А и А 1 поменяются местами. Из этого следует, что вся окружность перейдет сама в себя.
Т е о р е м а 3. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.
|
Рассмотрим симметрию относительно диаметра АВ. При этой симметрии точки С и D симметричны. Поэтому КС = КD. Точка В при симметрии относительно АВ остается на месте. В силу симметрии окружности дуга СВ переходит в дугу BD, а дуга BD – в дугу СВ. Значит, эти дуги равны. Аналогично можно сказать и о равенстве дуг АС и АD.
|
О б р а т н ы е т е о р е м ы.
Дата добавления: 2015-12-19; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!