Зависимость оценки на экзамене от набранных баллов.
| Количество набранных баллов | 
| 
| 
| 
|
| оценка |
Задания по теории
Часть 1.
1. Теорема об эквивалентности решения интегрального уравнения и решения алгебраической системы.
2. Теорема об условии разрешимости интегрального уравнения* (доказательство необходимости для произвольного непрерывного ядра.)
3. Резольвента. Запись решения через резольвенту. Определение резольвенты.
4. Теорема Банаха.
5. Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма с «малым» ядром.
6. Итерированные ядра и построение резольвенты с выводом формулы и доказательством для интегрального уравнения Фредгольма с «малым» ядром.
7. Метод решения интегрального уравнения с произвольным непрерывным ядром. Сведение интегрального уравнения с произвольным непрерывным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром.
8. Теорема Фредгольма 1 для интегрального уравнения Фредгольма с произвольным непрерывным ядром.
9. Лемма (обобщение теоремы Банаха).
10. Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Вольтерра.
11. Итерированные ядра и построение резольвенты с выводом формулы и доказательством для интегрального уравнения Вольтерра.
12. Интегральное уравнение типа Вольтерра со слабой особенностью. Определение. Лемма. Следствие.
13. Теорема о возможности сведения уравнения Вольтерра I рода к интегральному уравнению II рода.
|
|
|
14. Обобщённое уравнение Абеля, метод его решения. Обычное уравнение Абеля.
15. Определение максимума (минимума) функционала. Теорема (Необходимое условие экстремума функционала.) Определение слабого экстремума, сильного экстремума.
16. Вывод уравнения Эйлера для простейшего функционала.
17. Основная лемма вариационного исчисления.
18. Решение уравнения Эйлера. Частные случаи уравнения Эйлера.
19. Вывод уравнения Эйлера, в случае, когда функционал зависит от производных более высокого порядка, чем первый.
Часть 2.
1. Определение линейные интегрального уравнения I, II, III рода, однородного, неоднородного, транспонированного.
2. Определение интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
3. Связь между матрицами алгебраических систем, полученных из интегрального уравнения и ему транспонированного. Вид алгебраической системы для однородного уравнения.
4. Определение правильных и собственных чисел λ для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром, количество решений для λ правильного и собственного.
5. Определение правильных и собственных чисел λ для интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным ядром.
|
|
|
6. Теорема Фредгольма 1,2,3,4 для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
7. Теорема (об альтернативе) для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
8. Понятие оператора. Примеры. Определение метрического пространства. Определение пространства C[a,b]. Определение сходимости в метрическом пространстве. Определение предела последовательности. Определение фундаментальности последовательности, теорема о связи со сходимостью. Контрпример. Определение полного пространства.
9. Следствие из теоремы Банаха об оценке ошибки n -ого приближения. 3 замечания из теоремы Банаха.
10. 2 замечания из теоремы про интегральное уравнение Фредгольма с «малым» ядром.
11. Теоремы Фредгольма 1,2,3,4 для интегрального уравнения Фредгольма произвольным непрерывным ядром. Теорема (об альтернативе) для интегрального уравнения Фредгольма произвольным непрерывным ядром.
12. Замечание про операторный способ задания резольвенты для интегрального уравнения Фредгольма произвольным непрерывным ядром.
13. Замечание об интегральных уравнениях Фредгольма со слабой особенностью.
14. Определение уравнения Вольтерра I рода и необходимые условия его разрешимости.
|
|
|
15. 4 замечания к теореме об уравнении Вольтерра I рода.
16. Определение функционала. Определение вариации функции. Определение непрерывности функционала. Понятие близости функций в смысле к-го порядка. Определение линейного функционала. Два эквивалентных определения вариации функционала. Определение максимума (минимума) функционала. Определение слабого экстремума, сильного экстремума.
17. Понятие экстремалей функционала.
18. Обобщения уравнения Эйлера: на случай, когда функционал зависит от нескольких функций.
Часть 3
1. Найти вариацию функционала в смысле второго определения 
;
2. Задания вытекающие из теорем Фредгольма (типа сколько решений имеет неоднородное линейное интегральное уравнение с произвольным непрерывным ядром, если однородное имеет столько то решений).
3. Найти условие, при котором уравнение с вырожденным ядром имеет ненулевое решение; найти собственные числа и условия разрешимости; записать транспонированное уравнение и свести его к решению алгебраической системы; выразить решение уравнения через резольвенту.
4. Составить уравнение Эйлера для данного функционала.
5. Найти расстояние между функциями 
и 
в пространстве 
.
6. Определить тип уравнения и решить уравнение: 
; 
.
|
|
|
7. Сколько непрерывных решений имеет уравнение 
, если 
, 
и почему?
8. Теорема о существовании и единственности решению интегрального уравнения Вольтера 1-го рода. Применить теорему к уравнению 
.
9. Свести уравнение Вольтера 1-го рода к уравнению 2-го рода.
10. Указать тип уравнения 
. Имеют ли место теоремы Фредгольма для этого уравнения. Объяснить почему вы так считаете.
11. Найти итерированное ядро 
для уравнения 
или для уравнения 
.
12. Вопрос о типе уравнения Абеля и что вы знаете про этот тип.
13. Какое уравнение сведётся дифференцированием к уравнению: 
?
14. При каких значениях 
интегральное уравнение 
имеет единственное решение? (используя достаточное условие)
15. При каких значениях оператор 
является оператором сжатия?
16. У транспонированного уравнения к уравнению 
какое может быть наибольшее количество собственных чисел?
17. Уравнение 
разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется условие 
. Решением какого уравнения является функция 
.
Дата добавления: 2015-12-18; просмотров: 14; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!