Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.

Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:

 

признак сходимости Абеля:

1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);

 

 

2. g(x) монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится.

 

признак сходимости Дирихле:

1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ;

2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .

Тогда интеграл сходится.

Применим, например, признак Дирихле к . Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.

 

Теорема (признак сравнения). Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию , то

1) если сходится интеграл , то сходится и интеграл ;

2) если расходится интеграл , то расходится и интеграл .

 

Пример. Доказать, что интеграл сходится.

Доказательство. Так как при и интеграл

сходится, то исходный интеграл также сходится.

 

 

---

Дата добавления: 2015-12-18; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!