Глава 2. Двойственность в банаховых пространствах
Пространства и
тесно взаимосвязаны. Ряд этих связей будет выявлен в этой главе. Элементы сопряженного пространства будем обозна-чать
, а значение
через
.
Изометрические вложения. Рефлексивность
Следующий результат устанавливает некоторые свойства двойственности.
Т е о р е м а 1. Пусть линейное нормированное пространство и
замкнутый единичный шар в нем. Пусть также
замкнутый единичный шар в
. Тогда
(i)
(ii) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) следует из определения операторной нормы.
Для доказательства (ii) фиксируем . Отображение
определяет линейный функционал на
. Кроме того,
.
Следовательно, определяет линейный непрерывный функционал
и
. С другой стороны, по одному из следствий теоремы Хана – Банаха найдется такой
,что
и
. Но тогда для
будем иметь
Отсюда и, следовательно,
.
Из теоремы 1 следует, что каждый порождает элемент
из
. При этом отображение
является изометрическим вложе-нием.
О п р е д е л е н и е. Если изометрическое вложение сюръек-тивно, то
называется рефлексивным пространством.
Т е о р е м а 2. Если нормированные пространства и
, то
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из теоремы 1 и определения нормы оператора получается
.
Слабые сходимости (топологии)
Слабая сходимость элементов. Пусть нормированное пространство. Для произвольных
и конечного множества
определим
. (1)
Очевидно, что является открытым множеством, содержащим нуль. Пересечение конечного числа множеств вида (1) содержит множество такого вида, поскольку
|
|
.
Следовательно, совокупность множеств вида (1) можно взять в качестве определяющей системы окрестностей нуля некоторой топологии. Полученная топология будет слабее исходной. Из теоремы о достаточном числе функционалов следует, что она удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. Однако слабая топология может не удовлетворять первой аксиоме счетности и потому быть неметризуемой. Тем не менее сходимость в , определяемая этой топологией, представляет собой важное понятие.
О п р е д е л е н и е. Последовательность элементов нормирован-ного пространства
называется слабо сходящейся к элементу
, если
выполняется соотношение
.
Наличие аксиомы отделимости Хаусдорфа влечет единственность предела слабо сходящейся последовательности. Для обозначения слабой сходимости будем использовать запись
.
Т е о р е м а 1. Всякая слабо сходящаяся последовательность ограниче-на.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Рассмотрим в
последователь-ность
, соответствующую последовательности
при изометрическом вложении
в
. По условию
при
. Другими словами, для последовательности
выполнены условия теоремы Банаха – Штейнгауса, в силу которой
|
|
.
Слабая сходимость функционалов. Пространство можно рассматривать двояко: либо как основное пространство, связывая с ним
, либо как пространство линейных ограниченных функционалов на
. Поэтому наряду с
сходимостью возникает еще один вид слабой сходимости.
О п р е д е л е н и е. Последовательность называется
сла-бо сходящейся к
, если
выполняется условие
при
.
З а м е ч а н и е. В пространстве
слабая топология слабее, чем
слабая топология. Они совпадают в случае, когда
рефлексивно. Из теоремы Банаха – Штейнгауса следует также ограниченность
слабо сходящейся последовательности, если
банахово пространство.
Значение слабой сходимости видно из следующего результата.
Т е о р е м а 2 (Б а н а х а – А л а о г л у). Пусть сепарабельное нормированное пространство. Тогда из всякой ограниченной последователь-ности
можно выделить
слабо сходящуюся подпоследователь-ность.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию . Пусть
счет-ное всюду плотное в
подмножество. Используя диагональный метод Кан-тора, выбираем подпоследовательность
, сходящуюся на всех элементах
. Покажем, что последовательность
сходится и при лю-бом
. Действительно, для фиксированных
и
выберем
так, чтобы выполнялось условие
. Но тогда
|
|
.
Однако второе слагаемое можно сделать меньше при
больше неко-торого номера. Таким образом, числовая последовательность
фунда-ментальна, а потому сходится. Определим теперь на
функционал
.
Очевидно, что линейный функционал. Кроме того,
.
Следовательно, и теорема доказана.
Описание сопряженных пространств
Пространство, сопряженное к пространству Лебега.
Т е о р е м а 1. Пусть ,
,
пространство с конечной мерой. Пространство
изометрически изоморфно прост-ранству
. Соответствующий изоморфизм
задается формулой
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда формула (2) определяет ли-нейный функционал на
и в силу неравенства Гельдера имеем
.
Отсюда видно, что функционал ограничен и
. Таким образом, уста-новлено включение
.
Остается доказать, что любой функционал можно представить в виде (2) с некоторой функцией
и
.
Пусть . Для
имеем
и поэтому определено отобра-жение
или
по формуле
. Если
причем пере-сечение
и
пусто при
, то
и ряд сходится в пространстве
. Поэтому линейность и непрерывность
влечет
.
Тем самым доказана счетная аддитивность . Последнее означает, что
|
|
заряд (комплекснозначный). Более того, является абсолютно непрерывным относительно меры
. Действительно, если
, то
почти всюду равна нулю, т.е. является нулем в
и
. Поэтому в силу теоремы Радона – Никодима существует такая функция
, что
.
Покажем теперь, что и что выполняется (2) для каждой
. В случае когда
индикатор, представление (2) проверяется непосредственно
.
В силу линейности функционала и интеграла Лебега представление (2) распространяется и на простые функции. Для ограниченной измеримой функции
можно построить последовательность простых измеримых функ-ций
, сходящихся равномерно к
. В силу теоремы Лебега и непрерыв-ности функционала
предельный переход в равенстве
.
дает представление (2) и в этом случае.
Рассмотрим для каждого натурального функции
,
, где
Эти функции ограничены, измеримы и
,
.
Записывая теперь неравенство с учетом полученных соотноше-ний, получим
.
Поскольку при всех
, то применение теоремы Фату дает
.
Таким образом, совпадает на множестве ограниченных функций с функцио-налом, задаваемым формулой (2). Поскольку множество ограниченных функ-ций плотно в
, то это совпадение распространяется на все пространство и теорема доказана.
Пространство, сопряженное к гильбертову пространству.
Т е о р е м а 2. Пусть гильбертово пространство. Тогда
существует единственный элемент
такой, что
.
При этом . Обратно,
данная формула определяет функционал
с нормой
.
Доказательство теоремы приведено в [1, стр. 202 - 203].
Сопряженный оператор
Пусть линейные нормированные пространства и
ли-нейный ограниченный оператор. Для каждого
композиция
будет представлять линейный непрерывный функционал на
, т.е.
. Таким образом, определено отображение
, действующее по формуле
.
Это отображение называют сопряженным оператором к оператору . Его определение особенно естественно выглядит в терминах двойственности:
.
Следующий результат показывает, что отображение является изометрическим изоморфизмом пространств
и
.
Т е о р е м а 1. Пусть линейные нормированные пространства и
линейный ограниченный оператор, действующий из
в
. Тогда
линейный ограниченный оператор, действующий из
в
, и
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем вначале линейность оператора . Пусть
произвольные элементы из
. Тогда
будем иметь
т.е. .
Аналогично, если и
, то
,
т.е. . Линейность
доказана.
Наконец, используя соотношения двойственности, получим
.
Таким образом, и
.
Т е о р е м а 2. Пусть банаховы пространства.Оператор
компактен тогда и только тогда, когда, когда компактен оператор .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим вначале, что . Нам нужно показать, что единичный шар
пространства
переводится посредством
в предкомпактное множество. Пусть
. Определим на
последовательность функций
.
Множество является предкомпактным и для
,
т.е. семейство равностепенно непрерывно. Оно также равномерно ограничено
.
По теореме Арцела из него можно выделить равномерно сходящуюся на подпоследовательность
. Замечая теперь, что
приходим к фундаментальности последовательности . Поскольку
банахово пространство, то эта последовательность сходится и компакт-ность оператора
доказана.
Обратное утверждение можно вывести аналогичными рассуждениями. Однако, можно воспользоваться уже доказанным.
Пусть . По доказанному
является компакт-ным оператором. Пусть
изометрические вложения. Тогда
. Действительно,
имеем
.
Поскольку , то
относительно компактное мно-жество. В силу изометричности
таковым является и множество
, что и доказывает компактность
.
В случае, когда операторы действуют в одном и том же пространстве , т.е.
,
образует алгебру. Следующий результат касается свойств отображения
в алгебре
.
Т е о р е м а 3. Пусть линейное нормированное пространство над полем
и
. Тогда
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим последнее соотношение. Пусть и
- произвольны. Тогда
откуда следует, что . Остальные соотношения проверяются анало-гично.
Литература
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин. – М.: Физматлит, 2004.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 26; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!