Преобразования симметрии. Группы симметрии
2.1.1. Преобразования симметрии. Преобразования пространственного объекта, приводящие объект в новое положение, которое в точности совпадает с начальным положением и от него физически не отличается, называются преобразованиями (операциями) симметрии; расстояния между всеми парами точек пространственного объекта остаются неизменными, т.е. объект не испытывает растяжения, сжатия, изгиба.
Введем в рассмотрение следующие операции симметрии:
– вращение вокруг оси Xi на угол 2p/ n против часовой стрелки; ось вращения Xi называется осью симметрии n -го порядка;
Ri – отражение от плоскости , которая называется плоскостью симметрии;
E – тождественность (операцию тождественности можно рассматривать как вращение на угол2p);
I – инверсия (операция инверсии представляет собой особый случаи вращения вокруг оси Xi на угол p с последующим отражением от плоскости ; точка называется центром инверсии или центром симметрии).
Преобразования симметрии можно описать аналитически как ортогональные преобразования координат:
, (2.1.1)
где r – вектор-радиус рассматриваемой точки; r¢ – вектор-радиус рассматриваемой точки после преобразования симметрии; Q – ортогональный тензор.
Преобразования симметрии осуществляются при помощи элементов симметрии. Элементы симметрии состоят из группы точек, которые не перемещаются при операциях симметрии – плоскости симметрии, оси симметрии, центр симметрии.
|
|
Преобразования симметрии представляют собой точечные преобразования симметрии, так как при этих преобразованиях пространственный объект не перемещается как целое и хотя бы одна его точка остается на месте.
2.1.2. Группы симметрии. Рассмотрим представительный элемент объема гетерогенной среды (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Представительный элемент объема (ячейка периодичности)
Начало прямолинейной ортогональной системы координат расположим в точке, которая остается неподвижной при всех преобразованиях симметрии. Выпишем преобразования симметрии, которые оставляют инвариантным представительный элемент объема:
(2.1.2)
Составим таблицу умножения Кэли, в которой представлены все возможные произведения элементов (2.1.2), записанные в следующем виде: (a и b взяты из первого столбца и первой строки таблицы, а g находится на пересечении соответствующих строки и столбца).
Исследованием таблицы Кэли можно установить [17, 18], что множество элементов образует группу G, так как определена бинарная операция, которая удовлетворяет аксиомам замкнутости (), ассоциативности (), тождественности ), обращения ().
В силу того, что бинарная операция, действующая в группе G является коммутативной (; таблица Кэли является симметричной относительно главной диагонали), группа G является коммутативной или абелевой. Группа G содержит конечное число элементов – восемь, следовательно, группа G является конечной группой восьмого порядка. Каждое из восьми преобразований симметрии может быть получено, например, из – подмножество элементов называется системой образующих элементов группы G. Это не единственная система образующих – элементы также являются системой образующих.
|
|
Определение. Группа G, содержащая элементы: , называется группой симметрии объекта G o.
Рассматривая различные механические воздействия на пространственный объект, аналогичным образом в каждом конкретном случае можно определить группы симметрии воздействия Gi.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!