Минимизация дисбаланса на линии сборки

 

Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух заводах. Из – за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В приводимой ниже таблице содержаться исходные данные, характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течении недели располагает каждый из заводов для производства этих узлов.

Завод	Максимальный недельный фонд времени, ч	Производительность, узел/ч
Узел 1	Узел 2	Узел 3

 

Идеальной является такая ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из – за различий в производительности заводов. Более реальная цель состоит, по видимому, в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего в следствии некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Возможный объем производства каждого из трех видов узлов зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления. Это послужит исходным моментом при идентификации переменных.

Словесная формулировка задачи

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе (переменные), не превышающие в сумме временные ресурсы каждого завода (ограничения) и обеспечивающие максимальный выпуск изделий (целевая функция)

Математическая формулировка

Пусть x_ij – недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе i для производства узла j. тогда объемы производства каждого из трех комплектующих узлов будут равны:

узел 1: 8х₁₁ + 6х₂₁

узел 2: 5х₁₂ + 12х₂₂

узел 3: 10х₁₃ + 4х₂₃

Т.к. в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства которых минимален. Если, например, объем производства двух заводов составляет 100,112 и 108 соответствующих узлов, то количество конечных изделий будет равно min [100,112,108]=100. Поэтому количество конечных изделий можно выразить через число комплектующих узлов следующим образом:

min [ 8х₁₁ + 6х₂₁; 5х₁₂ + 12х₂₂; 10х₁₃ + 4х₂₃ ]

узел 1 узел 2 узел 3

Условия рассматриваемой задачи устанавливают ограничения только на фонд рабочего времени, которым располагает каждый завод. Таким образом, математическую модель можно представить в следующем виде:

Максимизировать z= min [8х₁₁ + 6х₂₁; 5х₁₂ + 12х₂₂; 10х₁₃ + 4х₂₃]

при ограничениях: х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ £ 100 (завод 1)

х₂₁ +х₂₂ +х₂₃ £ 80 (завод 2)

x_ij ³ 0, I=1,2; j=1,2,3

Эта модель не является линейной, но ее можно привести к линейной форме с помощью простого преобразования.

Пусть у – количество изделий = min [8х₁₁ + 6х₂₁; 5х₁₂ + 12х₂₂; 10х₁₃ + 4х₂₃]

Этому выражению с математической точки зрения эквивалента следующая формулировка:

Максимизировать у

при ограничениях: 8х₁₁ + 6х₂₁³ у

5х₁₂ + 12х₂₂ ³ у

10х₁₃ + 4х₂₃ ³ у, где у ³0 по определению.

Можно убиться в том, что максимизация у будет приводить к равенству этой переменной наименьшей из левых частей трех введенных ограничений, а это как раз и требуется.

Таким образом окончательно математическую модель можно записать в виде:

Максимизировать у

при ограничениях: 8х₁₁ + 6х₂₁- у ³ 0

5х₁₂ + 12х₂₂ -у³0

10х₁₃ + 4х₂₃ - у³0

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ £ 100

х₂₁ +х₂₂ +х₂₃ £ 80

x_ij ³ 0 для всех i и j, y³0

 

Лекция 5:

---

Дата добавления: 2016-01-06; просмотров: 27; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!