Информационные потоки в вычислительных системах.

Рассмотрим дальнейшие примеры информационных потоков в вычислительных системах.

1. Рассмотрим операцию присвоения значения переменных

Y:=X.

Пусть X - целочисленная случайная величина со значениями [0,15] и Р(x) - равновероятная мера на значениях X. Тогда Н(Х)=4 бит. После выполнения операции присвоения по полученной в состоянии s‘ величине Y однозначно восстанавливается X, следовательно H(X/Y)=0 ÞI(X, Y)=4ÞC(a, X, Y)=4, т.к. рассмотренный канал - симметричный.

2. Y:=X

Z:=Y.

Выполнение этих команд вызывает непрямой (косвенный) поток информации Х-->Z, такой же величины как прямой поток Х-->Y.

3. Z:=X + Y.

Предполагаем, что X, Y Î[0,15] и равновероятны. Тогда Н(Х)=4, H(Y)=4.

0 < H(X/Z) =å Р(х, z) logP(x/z)< 4,

(xz)

следовательно, 0 < I(Х, Z) < 4 бит.

4. Пусть X₁, X₂,..., Х_n - независимые одинаково распределенные равновероятные случайные величины со значениями 0 и 1.

Z=åXi, Н(Х₁) = 1,

i=1

n-1 n

H(X1/Z)=-åР(Х1=0,Z=k)logP(X=0/Z=k)- åР(Х1=1, Z=k) logP(X=l /Z=k)

k=o k=1

Если n->¥, то H(X₁/Z) = Н(Х₁)(1 + O(1)), откуда следует, что I(X₁/Z)=O(l).

Отсюда возникает возможность прятать конфиденциальные данные в статистические данные.

5. Z:=XÅY, X и Y - равновероятные булевы случайные величины,Å - сложение по mod 2, тогда Z не несет информации о X или Y.

6. If X=l then Y=l. ХÎ{0,1}, где величина X принимает свои значения с вероятностями Р(Х=0)=Р(Х==1)=1/2, начальное значение Y=0, Н(Х)=1.

H(X/Y)= å Р(х, у) logP(x/y)=0.

(x,y)

Следовательно, I(Х, Y) = 1. Поток называется неявным, в отличие от явного при операции присвоения.

7. If(Х=1) и (Y=l) then Z:=l.

H(X)=H(Y)=l, Z=l => X=l=Y

X=0 c P=2/3 }

Z = 0 => } апостериорные вероятности

X=1 c P=1/3 }

Отсюда H_z(X)×»O,7. Поэтому количество информации о X в Z равно

I(Z, Х)» 0,3.

Если X₁, Х₂,...,Х_n - исходные (ценные) переменные системы (программы), а Y=(Y₁,...,Y_m) - выходные, то I(X_i,Y) - количество информации о Х_i, в потоке, который индуцируется системой. Тогда отношение I(X_i,Y)/Н(Х₁) - показатель "утечки" информации о X₁. Если установить порог l> О для "утечки", то из условия при каждом i=l.....n,

I(X_i,Y)/Н(Х_i)<l,

следуют требования к защите Y.

28. Ценность информации. Аддитивная модель.

Чтобы защитить информацию, надо затратить силы и средства, а для этого надо знать какие потери мы могли бы понести. Ясно, что в денежном выражении затраты на защиту не должны превышать возможные потери. Для решения этих задач в информацию вводятся вспомогательные структуры - ценность информации. Рассмотрим примеры.

1. Аддитивная модель. Пусть информация представлена в виде конечного множества элементов и необходимо оценить суммарную стоимость в денежных единицах из оценок компонент. Оценка строится на основе экспертных оценок компонент, и, если денежные оценки объективны, то сумма дает искомую величину. Однако, количественная оценка компонент невсегда объективна даже при квалифицированной экспертизе. Это связано с неоднородностью компонентв целом. Поэтому делают единую иерархическую относительную шкалу (линейный порядок, который позволяет сравнивать отдельные компоненты по ценности относительно друг друга). Единая шкала означает равенство цены всех компонент, имеющих одну и туже порядковую оценку.

Пример 1 0₁,...,0_n - объекты, шкала 1<...<5. Эксперты оценили (2, 1, 3,...., 4) - вектор относительных

ценностей объектов. Если есть цена хотя бы одного объекта, например, C₁=100 руб., то вычисляется оценка одного балла С₁/l. = 50 руб.,

где l - число баллов оценки первого объекта, и вычисляется цена каждого следующего объекта: C₂=50руб., C₃=150 руб. и т.д. Сумма дает стоимость всей информации. Если априорно известна цена информации, то относительные оценки в порядковой шкале позволяют вычислить цены компонент.

29. Ценность информации. Анализ риска.

2. Анализ риска. Пусть в рамках аддитивной модели проведен учет стоимости информации в системе. Оценка возможных потерь строится на основе полученных стоимостей компонент, исходя из прогноза возможных угроз этим компонентам. Возможности угроз оцениваются вероятностями соответствующих событий, а потери подсчитываются как сумма математических ожиданий потерь для компонент по распределению возможных угроз.

Пример 2. Пусть О₁,...,О_n - объекты, ценности которых С₁,...,С_n. Предположим, что ущерб одному объекту не снижает цены других, и пусть вероятность нанесения ущерба объекту О_i равна р_i, функция потерь ущерба для объекта О_i равна

{ Ci, если объету i нанесен ущерб,

Wi= {

{ 0, в противном случае.

Оценка потерь от реализации угроз объекту i равна EW_i = p_iС_i.

Исходя из сделанных предположений, потери в системе равны W=W₁+...+W_n. Тогда ожидаемые потери(средний риск) равны:

EW=åp_iC_i

i=1

Существуют ППП, позволяющие автоматизировать оценку риска, например, RASYS.

30. Ценность информации. Порядковая шкала ценностей.

3. Порядковая шкала ценностей. Далеко не всегда возможно и нужно давать денежную оценку информации. Например, оценка личной информации, политической информации или военной информации не всегда разумна в денежном исчислении. Однако подход, связанный со сравнением ценности отдельных информационных элементов между собой, по-прежнему имеет смысл.

Пример 3. При оценке информации в государственных структурах используется порядковая шкала ценностей. Все объекты (документы) государственного учреждения разбиваются по грифам секретности. Сами грифы секретности образуют порядковую шкалу: несекретно < для служебного пользования <секретно < совершенно секретно (НС<ДСП<С<СС) или у американцев: unclassified<confidential<secret<top secret (U<Conf<S<TS). Более высокий класс имеет более высокую ценность и поэтому требования по его защите от несанкционированного доступа более высокие.

31. Ценность информации. М одель решетки ценностей.

4. Модель решетки ценностей. Обобщением порядковой шкалы является модель решетки. Пусть дано SC - конечное частично упорядоченное множество относительно бинарного отношения <, т.е. для каждых А, В, С выполняется

1) рефлексивность: А<А,

2) транзитивность: А<В, В<С==>А<С,

3) антисимметричность: А<В, В<А => А=В.

Определение. Для А, BÎSC элемент C=AÅBÎSCназывается наименьшей верхней границей (верхней гранью), если

1) А<С, В<С;

2) A<D, B<DÞC<D для всех DÎSC.

Элемент AÅB, вообще говоря, может не существовать. Если наименьшая верхняя граница существует, то из антисимметричности следует единственность.

Определение. Для А, BÎC элемент E=AÄBÎSCназывается наибольшей нижней границей (нижней гранью), если

1) Е<А, Е<В;

2) D<A, D<BÞD<E.

Эта граница также может не существовать. Если она существует, то из антисимметричности следует единственность.

Определение. (SC, <) называется решеткой, если для любых А, BÎSC существует AÅBÎSC и AÄBÎSC.

Лемма. Для любого набора S={А₁,...,А_n } элементов из решетки SC существуют единственные элементы,:

ÅS=A₁Å...ÅA_n - наименьшая верхняя граница S;

ÄS=A₁Ä...ÄA_n - наибольшая нижняя граница S.

Доказательство. Докажем ассоциативность операции Å.

C₁=(A₁ÅA₂) ÅA3=A1Å(A₂ÅA₃)=C₂.

По определению C₁>A₃, C₁>A₁ÅA₂. Отсюда следует С₁>Аз, С₁>A₂, С₁>А₁. Тогда C₁>A₂ÅA₃, С₁>А₁, cледовательно, С₁>С₂. Аналогично С₂>С₁. Из антисимметричности С₁=С₂.

Отсюда следует существование и единственность ÅS. Такими же рассуждениями доказываем, что существует ÄS и она единственна. Лемма доказана.

Для всех элементов SC в конечных решетках существует верхний элемент High = ÅSC, аналогично существует нижний элемент Low = ÄSC.

Определение. Конечная линейная решетка - это линейно упорядоченное множество, можно всегда считать {0, 1,..., n}=SC.

Для большинства встречающихся в теории защиты информации решеток существует представление решетки в виде графа. Рассмотрим корневое дерево на вершинах из конечного множества Х={Х₁, Х₂...Х_n }с корнем в X_i. Пусть на единственном пути, соединяющем вершину X₁ с корнем, есть вершина X_j. Положим по определению, что Х_i<Х_j. Очевидно, что таким образом на дереве определен частичный порядок. Кроме того, для любой пары вершин X_i и X_j существует элемент Х_iÅХ_j, который определяется точкой слияния путей из X_i и X_j в корень. Однако такая структура не является решеткой, т.к. здесь нет нижней грани. Оказывается, что от условия единственности пути в корень можно отказаться, сохраняя при этом свойства частичного порядка и существование верхней грани. Например, добавим к построенному дереву вершину L, соединив с ней все концевые вершины. Положим i=l,...,n, L<X_j. Для остальных вершин порядок определяется как раньше. Построенная структура является решеткой.

Не всякий граф определяет решетку.

Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!