Центральная предельная т е о р е м а теории вероятностей
Лекция №10
Вопросы:
Закон больших чисел.
Центральная предельная теорема теории вероятностей.
Закон больших чисел
Лемма (Чебышев). Если случайная величина ξ имеет конечную дисперсию Dx, то имеет место следующее неравенство:
(1)
Доказательство. Пусть f(x) - плотность распределения случайной величины ξ. Тогда
Разделив последнее неравенство на ε2, получим (1). Лемма доказана.
Замечание. Неравенство (1) можно записать в виде
(1¢)
Определение. Последовательность случайных величин ξ1,ξ2,…,ξn,… называется сходящейся по вероятности к величине ξ0 при n→ ∞, если для любого e>0 имеет место равенство что эквивалентно равенству Пишут при n→ ∞.
Теорема (Чебышев). Если все члены последовательности ξ1, ξ2,…, ξn,… имеют равномерно ограниченные дисперсии, т.е. , и являются попарно независимыми, то имеет место равенство
(2)
т.е. среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Доказательство. Рассмотрим величину Найдем ее математическое ожидание и дисперсию
Т.к. , то , т.е. дисперсия Dη - величина ограниченная. Тогда по лемме Чебышева
, " e> 0, или
Переходя к пределу в последнем соотношении, получим (2), т.к. вероятность не может быть отрицательной.
|
|
Замечание. Если последовательность ξ1,ξ2,…,ξn,… есть результат измерения одной и той же величины ξ, то все ξi имеют один и тот же закон распределения, совпадающий с законом распределения ξ.
Тогда
– среднее арифметическое n измерений. Теорему Чебышева в этом случае можно записать так: т.е. среднее арифметическое n измерений сходится по вероятности к математическому ожиданию измеряемой величины. Поэтому среднее арифметическое может служить хорошей оценкой математического ожидания. Такие оценки называют состоятельными.
Следствие. Пусть случайная величина ξi означает число появлений события А в i-ом испытании Бернулли. Тогда она имеет следующий ряд распределения:
xi | 0 | 1 |
pi | q | p |
Величина есть общее число появлений событий А в n испытаниях, а - частота появления события А в n испытаниях. Равенство (2) в этом случае запишется так:
(3)
или при n→ ∞, т.е. частота появления события стремится к вероятности этого события. Равенство (3) называют теоремой Бернулли.
Теоремы Чебышева и Бернулли выражают так называемый закон больших чисел, который устанавливает факт сходимости статистических характеристик к соответствующим теоретическим характеристикам.
|
|
Пример 1. Вероятность наступления события А в каждом испытании p=0,3. Оценить вероятность того, что в 10 тыс. испытаниях отклонение частоты события А от вероятности этого события не превысит 0,01 по абсолютному значению.
Решение. Следует оценить величину при ε=0,01. Согласно (1¢)
(4)
Если ξ – число появлений события А в n=104 испытаниях, то - частота, Dξ=npq=104×0,3×0,7=2100 - дисперсия. Найдем
Подставляя данные значения в (4), получим Таким образом, искомая вероятность не меньше, чем 0,79.
Равенство (3) называют теоремой Бернулли.
Теоремы Чебышева и Бернулли выражают так называемый закон больших чисел, который устанавливает факт сходимости статистических характеристик к соответствующим теоретическим характеристикам.
Центральная предельная т е о р е м а теории вероятностей
Эта замечательная теорема была впервые сформулирована Лапласом. Обобщением этой теоремы занимались многие выдающиеся математики, в том числе П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. Доказательство ее достаточно сложно.
Рассмотрим N одинаковых независимых случайных величин , , …, , так что распределения вероятностей этих величин совпадают. Следовательно, их математические ожидания и дисперсии также совпадают.
|
|
Обозначим
M = M = … = M = m,
D = D = … = D = .
Обозначим через сумму всех этих величин:
= + + …+ .
Из формул свойств математического ожидания и дисперсии следует, что
M = M ( + + …+ ) = Nm ,
D = D ( + + …+ ) = N .
Рассмотрим теперь нормальную случайную величину с такими же параметрами: а=Nm, =N .
В центральной предельной теореме утверждается, что для любого интервала (а', ) при больших N
P{ < < } .
Физический смысл этой теоремы очевиден: сумма большого числа одинаковых случайных величин приблизительно нормальна ( ).
На самом деле эта теорема справедлива при гораздо более широких условиях: все слагаемые , , …, не обязаны быть одинаковыми и независимыми; существенно только, чтобы отдельные слагаемые не играли слишком большой роли в сумме.
Именно эта теорема объясняет, почему нормальные случайные величины так часто встречаются в природе. В самом деле, каждый раз, когда мы сталкиваемся с суммарным воздействием большого числа незначительных случайных факторов, результирующая случайная величина оказывается нормальной.
|
|
Например, отклонение артиллерийского снаряда от цели почти всегда оказывается нормальной случайной величиной, так как оно зависит и от метеорологических условий на разных участках траектории, и от многих других факторов.
Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 87; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!