Способи задання дискретних випадкових величин
Тема 1. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу
При дослідженні багатьох проблем виникають такі випадкові події, наслідком яких є поява деякого числа, заздалегідь невідомого. Тому такі числові значення - випадкові.
Прикладом такої події є: кількість очок, що випадає при киданні грального кубика; кількість студентів, які прийдуть на лекцію; кількість цукрового буряка, який чекають одержати з одного гектара.
Випадковою величиноюназивають таку величину, яка в наслідок випробування може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.
Випадкові величини доцільно позначати великими літерами X , У, Z , а їх можливі значення - відповідними малими літерами з індексами. Наприклад,
X : х1,х2,…,хп; Z : z 1 , z 2 ,…, zm .
Випадкові величини бувають дискретними та неперервними.
Означення 1. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка можеприймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями.
Приклад 1. Кількість влучень у мішень при трьох пострілах буде X : 0,1,2,3. Отже, X може приймати чотири ізольовані числові значення з різними ймовірностями. Тому X - дискретна випадкова величина.
Кількість викликів таксі Y на диспетчерському пункті також буде дискретною випадковою величиною, але при t значення Y також зростають, тобто їх кількість прямує до нескінченності Y : 0,1,2,...,п,…
|
|
Означення 2. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченого інтервалу (а, b ). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.
Приклад 2. Величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; час безвідмовної роботи приладу; зріст людини; розміри деталі, яку виготовляє станок-автомат.
Приклад 3.Розглянемо випадкові величини: кількість очок, X та У, що можуть з'явитись при киданні правильного грального кубика та неправильного грального кубика. їх можливі значення
X:1,2,3,4,5,6; Y: 1,2,3,4,5,6
однакові.
Імовірність появи будь-якого значення xk дорівнює , однакова для усіх можливих значень X, а імовірності появи можливих значень Y будуть різними. Отже, випадкові величини X та Y не рівні тому, що при х k = yk маємо , k=1,2,3,4,5,6.
Таким чином, для повної характеристики випадкової величини треба вказати не тільки усі її можливі значення, але й закон, за яким знаходять імовірності кожного значення
Р k =Р(Х=х k )= f ( х k ) або Р(Х)=f(x).
Означення 3. Законом розподілу випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величина і відповідними їм ймовірностями.
|
|
У випадку дискретної випадкової величини Xфункціональну залежність можна задавати таблично, аналітично або графічно.
Способи задання дискретних випадкових величин
Нехай випадкова дискретна величина X приймає значення х1, х2,...,хп з відповідними ймовірностями р1, р2,…,рп.
Задати закон розподілу такої випадкової величини - це задати рівність , яку можна розглядати як функцію.
Тому закон розподілу Х можна задати аналітично, таблично, графічно.
Функція розподілу для дискретної випадкової величини має вигляд
Найбільш часто використовують табличний спосіб задання ДВВ, який називають рядом розподілу і зображують у вигляді
У першому рядку записані усі можливі значення X , а у другому рядку - відповідні імовірності, які мають властивість
Приклад 1. Умовами лотереї передбачено: один виграш - 100 гривень, два - 50 гривень, вісім - 10 гривень, дев’ятнадцять -1 гривня. Знайти закон розподілу суми виграшу власником одного лотерейного білету, якщо продано 1000 білетів.
Розв'язання. Будемо шукати закон розподілу суми виграшу X у вигляді ряду розподілу. Тоді
де р(0)=1-(0.001+0.002+0.008+0.019)=1-0.03=0.97.
|
|
Зауваження 1. Якщо випадкова дискретна величина може приймати нескінчену кількість значень, то її ряд розподілу (таблиця) буде мати нескінчену кількість елементів у кожному рядку.
Графічний спосіб. Візьмемо прямокутну систему координат. На осі абсцис будемо відкладати можливі значення ДВВ, а на осі ординат - відповідні значення імовірності. Одержимо точки з координатами (х1,р1), (х2,р2),…,(хп,рп).
Поєднавши ці точки прямими, одержимо графік (дивись Мал.) у вигляді многокутника розподілу випадкової дискретної величини.
Значення ДВВ, імовірність якого найбільша, називають модою. На Малюнку мода – х3.
Медіаною ДВВ Х називають таке значення ДВВ, в якому функція розподілу F(x)= .
|
Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 20; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!