Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы
МАТЕМАТИКА
Контрольные задания
Для студентов заочной и очно-заочной форм обучения
по специальности 44.02.01 (050144) Дошкольное образование
среднего профессионального образования
(углубленная подготовка)
Туймазы 2015
Автор: Терегулова Г. М.
Математика: Контрольные задания для студентов заочной и очно-заочной форм обучения по специальности 44.02.01 (050144) Дошкольное образование среднего профессионального образования
Общие методические указания
Контрольные задания составлены в соответствии со стандартами СПО по математике для педагогических колледжей по специальности Дошкольное образование.
Выполнению контрольных работ должно предшествовать изучение программного материала по учебным пособиям, указанным в изданной программе, а также самостоятельное тренировочное решение задач.
Контрольная работа состоит из 10 заданий.
Каждый студент выполняет контрольную работу своего варианта.
Номер варианта определяется по списку студентов в журнале учебных занятий.
Зная номер своего варианта, по приведенной ниже таблице определяются номера задач контрольной работы. Задания, выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются студенту.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На обложке разборчиво пишется: наименование учебного заведения, наименование учебной дисциплины, номер варианта, фамилия и инициалы студента, курс, группа, адрес студента, год обучения.
|
|
|
Работа должна быть написана разборчиво, без сокращений, без исправлений.
Условие заданий переписываются полностью. На каждой странице надо оставлять поля для замечаний преподавателя.
После получения прорецензированной работы студенту необходимо исправить отмеченные замечания, выполнить все указания и повторить недостаточно усвоенный материал. Если контрольные задания не зачтены, то студент выполняет их вторично. Студент, получивший положительную оценку за контрольную работу, получает зачет по предмету.
Варианты контрольных работ по математике
| Вариант | Номера заданий | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 1 | 1 | 21 | 41 | 61 | 81 | 101 | 121 | 141 | 161 | 181 |
| 2 | 2 | 22 | 42 | 62 | 82 | 102 | 122 | 142 | 162 | 182 |
| 3 | 3 | 23 | 43 | 63 | 83 | 103 | 123 | 143 | 163 | 183 |
| 4 | 4 | 24 | 44 | 64 | 84 | 104 | 124 | 144 | 164 | 184 |
| 5 | 5 | 25 | 45 | 65 | 85 | 105 | 125 | 145 | 165 | 185 |
| 6 | 6 | 26 | 46 | 66 | 86 | 106 | 126 | 146 | 166 | 186 |
| 7 | 7 | 27 | 47 | 67 | 87 | 107 | 127 | 147 | 167 | 187 |
| 8 | 8 | 28 | 48 | 68 | 88 | 108 | 128 | 148 | 168 | 188 |
| 9 | 9 | 29 | 49 | 69 | 89 | 109 | 129 | 149 | 169 | 189 |
| 10 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 | 110 | 130 | 150 | 170 | 190 |
| 11 | 11 | 31 | 51 | 71 | 91 | 111 | 131 | 151 | 171 | 191 |
| 12 | 12 | 32 | 52 | 72 | 92 | 112 | 132 | 152 | 172 | 192 |
| 13 | 13 | 33 | 53 | 73 | 93 | 113 | 133 | 153 | 173 | 193 |
| 14 | 14 | 34 | 54 | 74 | 94 | 114 | 134 | 154 | 174 | 194 |
| 15 | 15 | 35 | 55 | 75 | 95 | 115 | 135 | 155 | 175 | 195 |
| 16 | 16 | 36 | 56 | 76 | 96 | 116 | 136 | 156 | 176 | 196 |
| 17 | 17 | 37 | 57 | 77 | 97 | 117 | 137 | 157 | 177 | 197 |
| 18 | 18 | 38 | 58 | 78 | 98 | 118 | 138 | 158 | 178 | 198 |
| 19 | 19 | 39 | 59 | 79 | 99 | 119 | 139 | 159 | 179 | 199 |
| 20 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
|
|
|
Задания для контрольной работы
1. М – множество музыкальных инструментов эстрадного оркестра. Принадлежат ли этому множеству:
а) барабан;
б) гитара;
в) струна гитары;
г) балалайка?
2. Назовите элементы множества электроприборов, имеющихся в вашем доме.
|
|
|
3. А – множество геометрических фигур на плоскости. Принадлежат ли этому множеству:
а) пятиугольник;
б) прямая;
в) куб;
г) окружность;
д) точка?
4. К – множество предметов мебели в кабинете, где проходят ваши занятия по математике. Выясните, какие из следующих утверждений истинны:
а) Доска принадлежит множеству К.
б) Учительский стол является элементов множества К.
в) Множеству К принадлежит шкаф с наглядными пособиями.
г) Окно не является элементом множества К.
д) Портрет, висящий на стене, принадлежит множеству К.
е) Дверь принадлежит множеству К.
5. Множество букв русского алфавита обозначили буквой С. Укажите среди следующих высказываний истинные:
а) б 
С;
б) ю С;
в) z 
С;
г) t С; д) 33 С.
6. Назовите 5 чисел принадлежащих множеству натуральных чисел. Верно ли, что
а) 15 
;
б) 
;
в) 17,5 
;
г) -37 ;
д) 13457 ?
7 N – множество натуральных чисел, К – множество четных натуральных чисел, М - множество натуральных чисел, делящихся на 3. Запишите, используя символ , каким множествам принадлежат числа 4, 12, 79, 
. Запишите, используя символ , каким множествам не принадлежат эти числа.
|
|
|
8. F – множество точек окружности. Назовите точки, принадлежащие и не принадлежащие окружности (рис. 1). Выясните, какие из следующих высказываний истинны:
а) O F; б) A F; в) B F; г) C F.
рис. 1
9. К – множество точек окружности (рис. 1). Назовите точки:
а) принадлежащие кругу;
б) не принадлежащие кругу;
в) принадлежащие кругу, но не принадлежащие окружности.
10. Рассмотрите рисунок 2 и выясните, какие из следующих утверждений истинны:
а) Х [AB]; б) X (AB); в) X [AB); г) X [AB);
д) Y [AB); е) Y [AB]; ж) X [XB); з) X (XY); и) Y [XY].
рис.2
11. Установите, в каких из следующих предложений идет речь об отношении принадлежности ( или непринадлежности) элемента множеству; в каждом таком случае укажите это множество:
а) Слово «дом» - имя существительное.
б) Маша – пионерка.
в) Число 12 – натуральное.
г) Отрезок АВ – геометрическая фигура.
д) Число 5,3 не является натуральным.
е) Трапеция не является прямоугольником.
ж) Сколько дней в неделе?
з) Какой солнечный день!
12. Х- множество учебных групп в некотором педагогическом колледже. Является ли элементом этого множества какой-либо учащийся данного колледжа?
13. Даны множества:
А – множество частей света;
В – множество океанов на земном шаре;
С – множество месяцев в году;
Д – множество букв в слове «параллелограмм».
а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов каждого из данных множеств.
б) Задайте данные множества, перечислив их элементы.
14. Укажите характеристическое свойство элементов каждого из данных множеств:
М = {вторник, среда. воскресенье, суббота, понедельник, четверг, пятница};
Р = {Москва, Киев, Таллин, Рига, Вильнюс, Кишинев, Тбилиси, Ереван, Минск, Душанбе, Алма-Ата, Фрунзе, Ашхабад, Баку, Ташкент}.
15. Выясните, каково характеристическое свойство элементов множества, и перечислите его элементы:
а) множество однозначных чисел;
б) множество натуральных делителей числа 24;
в) множество двузначных чисел, делящихся на 10.
16. Даны множества: А={1, 3, 5, 7, 9}, В={12, 11, 10, 9, 8, 7}, С={11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Сформулируйте характеристическое свойство элементов каждого из множеств.
17. Прочитайте записи и перечислите элементы каждого из множеств:
A = 
;
B = 
;
C = 
;
D = 
;
E = 
.
18. Прочитайте записи и изобразите на числовой прямой следующие множества:
A = 
;
B = 
;
C = 
;
D = 
;
E = 
.
К = 
.
19. Укажите характеристическое свойство каждого из данных числовых множеств, изображенных на рисунке 3:
рис. 3
20. Выясните, какие целые числа являются элементами множеств К, Р, М, если:
К = 
; Р = 
; М = 
.
21.Какое множество задано в каждом из следующих случаев:
а) множество городов на Луне;
б) множество динозавров в московском зоопарке;
в) множество натуральных чисел, меньших нуля;
г) множество решений уравнения 3(х+2)=8+3х;
д) множество треугольников со сторонами длиной 4, 5 и 10 см.
22. Известно, что элементы множества Х обладают свойством «быть прямоугольником с равными сторонами». Из каких геометрических фигур состоит множество Х? Можно ли указать другое характеристическое свойство элементов множества Х?
23. Сформулируйте определение прямоугольника. Задайте множество прямоугольников, указав характеристическое свойство его элементов.
24. Выясните, в каком отношении находится каждая пара множеств:
а) A = {m, n, p} и B = {k, n, m};
б) A = {m, n, p} и B = {k, n, m, p};
в) A = {m, n, p} и B = {p, n, m};
г) A = {m, n, p} и B = {k, l}.
25. К – множество согласных букв русского алфавита, Р = {б, в, г, д, е}. в каком отношении находятся множества К и Р? Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера.
26. Даны множества А – множество букв русского алфавита, В - множество гласных букв. Докажите, что 
. Как изобразятся данные множества при помощи кругов Эйлера?
27. Известно, что 
и 
. Следует ли отсюда, что
а) 
; б) 
; в) 
?
28. Учащийся установил, что каждый элемент множества Х принадлежит множеству Y. Выясните, какой из следующих выводов должен был сделать учащийся:
а) ; б) 
; в) .
29. Известно, что 
. Можно ли утверждать, что 
? Верно ли обратное: из того, что , следует, что ?
30. Учащийся доказал, что любой элемент множества Р принадлежит множеству Q и, наоборот, любой элемент множества Q принадлежит множеству Р. В каком отношении находятся множества Р и Q?
31. Дано множество С = 
. Выделите его подмножество, элементами которого являются:
а) натуральные числа;
б) целые числа;
в) четные натуральные числа;
г) целые неотрицательные числа;
д) целые числа, кратные 3;
е) положительные числа.
32. На рисунке 4 изображены диаграммы множеств А и В. Выясните, каково отношение между множествами А и В в каждом из данных случаев, и приведите примеры множеств А и В.
рис. 4
33. Известно, что А – множество деревьев в саду, В – множество фруктовых деревьев в этом саду, С - множество яблонь в саду. Установите, каковы отношения между парами этих множеств, если все они непусты. Изобразите множества А, В, С при помощи кругов Эйлера.
34. Постройте круги Эйлера для множеств Е, К и М, предварительно выяснив, каковы отношения между парами этих множеств, если:
Е – множество двухэтажных домов в городе,
К - множество пятиэтажных домов в городе,
М - множество домов в городе.
35. Даны множества:
P – множество равносторонних треугольников;
Q - множество равнобедренных треугольников;
S – множество прямоугольных равнобедренных треугольников.
Укажите, на каком рисунке изображены данные множества. (рис.5).
рис.5
36. М – множество цифр в записи числа 923233, К - множество цифр в записи числа 3222329. Выясните, какое из высказываний истинно:
а) Множество М является подмножеством множества К.
б) Множество К является подмножеством множества М.
в) Множества К и М равны.
г) Множества К и М пересекаются.
37. Выпишите пары множеств, находящихся в отношении включения, если:
А – множество квадратов;
В – множество параллелограммов;
С – множество ромбов;
Д – множество прямоугольников.
Верно ли, что если А – подмножество Д и Д – подмножество В, то А – подмножество В?
38. К – множество правильных многоугольников, М – множество четырехугольников, Н – множество прямоугольников. Установите отношения, существующие между данными множествами, и изобразите их при помощи кругов Эйлера.
39. Даны множества:
А - множество параллелограммов;
В - множество ромбов;
С - множество прямоугольников.
а) Установите отношения, существующие между данными множествами, и изобразите их при помощи кругов Эйлера.
б) Укажите среди следующих утверждений истинные:
всякий ромб есть параллелограмм;
всякий ромб есть прямоугольник;
некоторые ромбы являются прямоугольниками;
некоторые ромбы не являются прямоугольниками;
все ромбы не являются прямоугольниками.
40. М – множество треугольников, у которых высота, проведенная из вершины на основание, является биссектрисой;
К - множество равносторонних треугольников;
L - множество равнобедренных треугольников;
P - множество треугольников, у которых все высоты равны.
Есть ли среди множеств M, К, L, P пары равных множеств?
41. Докажите, что следующие множества равны:
Р – множество остатков от деления любого натурального числа на 7;
Q - 
;
S – {5, 2, 6, 3, 1, 4, 0}.
42. Назовите среди данных множеств равные:
A – 
B – 
C – {3, 1, 2}
D – 
E – 
F - 
43. Решите следующие уравнения:
а) (2х-4)(7-х)=0;
б) х2-9х+14=0;
в) х(2-х)(3х-21)=0.
Укажите уравнения, множество решений которых равны. Как называют такие уравнения?
44. Даны множества:
A = {a, b, c, d};
B = {a, b, 4};
C = {4, 2, } ;
D = {a, b, 3};
E = {1,b}.
Найти a, b, c, d, зная, что 
.
45. Укажите среди следующих утверждений истинные:
а) {m,n} 
{{m,n,k}, {m,k}, m, n};
б) {m,n} {{m,n,k}, {m,k}, m, n};
в) {m,k} {{m,n,k}, {m,k}, m, n}.
46. Даны множества:
A – множество автобусов в гараже;
B – множество легковых машин в этом гараже;
C – множество легковых машин черного цвета в этом гараже;
D - множество грузовых машин в гараже.
Какое в данном случае может быть задано универсальное множество? Обозначьте универсальное множество буквой I и изобразите множества I, A, B, C, D при помощи кругов Эйлера (при условии, что все они не пусты).
47. Множества С, Е, К, Р являются подмножествами универсального множества I. Изобразите множества при помощи кругов Эйлера, если:
I – множество учащихся некоторой школы;
С – множество пионеров этой школы;
Е – множество спортсменов в школе;
К – множество комсомольцев девятых классов школы;
Р – множество девочек пятых классов школы.
48. Из множества целых неотрицательных чисел Z0 выделили подмножества:
Х – множество однозначных чисел;
Y – множество составных чисел;
Р – множество нечетных чисел.
Найдите на рисунке 6 диаграмму, изображающие данные множества.
рис. 6
49. Дано множество Н = {x, y, z}. Запишите:
а) Все подмножества множества Н, содержащие один элемент. Сколько подмножеств вы получили?
б) Все подмножества множества Н, содержащие два элемента. Сколько подмножеств вы получили?
в) Несобственные подмножества множества Н. Сколько таких подмножеств?
г) Сколько всего подмножеств имеет множество Н?
50. Запишите все собственные подмножества множество А = {a, b, c, d}. Сколько среди них трехэлементных подмножеств?
51. У девочки три ленты: голубая, красная и белая. Девочка должна выбрать две ленты. Сколькими способами она может осуществить этот выбор?
52. У Алексея четыре шара: зеленый, желтый, красный, синий.
а) Сколькими способами он может выбрать три шара?
б) Сколькими способами он может выбрать два шара?
53. Даны множества A = {p, r, s, t} и B = {o, n, r, t, q}.
а) Назовите элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В. Как называется множество, состоящее из таких элементов?
б) Назовите элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств. Как называется множество, состоящее из таких элементов?
в) Назовите элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Как называется множество, состоящее из таких элементов?
54. Известно, что 
и 
. Верно ли, что:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) и ; е) и .
55. Известно, что 
и . Можно ли на основании этого утверждать, что:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) или ;
е) и ?
56. Запишите элементы пересечения и объединения множеств А и В, если:
а) А = {а, о, и, у, ю}, В = {а, б, и, к, о};
б) А = {3, 6, 9, 12, 15}, В = {6, 1, 2, 5, 9, 13};
в) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {12, 34, 56};
г) А = {к, е, р, ю, в, л, м}, В = {м, л, ю, в, е, к, р};
д) А = {к, л, м, н}, В = {и, к, л, м, н, о, п}.
57. Отметьте на числовой прямой элементы пересечения и объединения следующих множеств (х - действительное число):
а) 
, 
;
б) 
, 
;
в) 
, 
;
г) 
, 
.
58. Найдите пересечение и объединение множеств:
а) [2; 7] и [4,6; 7];
б) (- ∞; 7) и [7; +∞);
в) [3; + ∞) и [3,2; +∞);
г) (- ∞; -5,7] и [-8; + ∞);
д) [-10,5; 4] и [0; 8].
59. Известно, что Р – множество прямоугольных треугольников, Q - множество равнобедренных треугольников. Выясните, какие из следующих высказываний истинны:
а) Элементами множества 
являются прямоугольные равнобедренные треугольники.
б) Множеству 
принадлежат прямоугольные и равнобедренные треугольники.
в) Множеству принадлежат прямоугольные или равнобедренные треугольники.
г) На рисунке 7 изображены треугольники. Какие из них принадлежат множеству ? А какие – множеству ? 
рис. 7
60. А – множество прямоугольников, В – множество квадратов. Установите, в каком отношении находятся данные множества, изобразите их при помощи кругов Эйлера и среди следующих высказываний укажите истинные:
а) 
- множество квадратов;
б) - множество прямоугольников;
в) 
- множество квадратов;
г) - множество прямоугольников.
61. Сформулируйте характеристическое свойство элементов пересечения и объединения следующих множеств:
а) К - множество девушек в вашей группе, Р – множество участников художественной самодеятельности в вашей группе;
б) К – множество учащихся третьих классов некоторой школы, Р – множество отличников школы;
в) К – множество натуральных чисел, кратных 4, Р – множество четных натуральных чисел.
62. Найдите пересечение и объединение углов х и у, данных на рисунке 8.
рис. 8
63. Объясните, об объединении каких множеств идет речь в определении:
а) луча;
б) ломанной;
в) многоугольника.
64. А – множество светловолосых девочек в классе, В – множество учащихся класса, сидящих за первыми партами. Сформулируйте условия, при которых:
а) 
Ø; б) 
Ø; в) 
; г) 
;
д) 
Ø; е) 
Ø; ж) 
; з) 
.
65. Даны множества геометрических фигур: С - множество равнобедренных треугольников, Е - множество прямоугольных треугольников, Р - множество треугольников со стороной, длина которых 5 см. Постройте круги Эйлера для данных множеств. Какие треугольники принадлежат множеству С 
Е Р? Какие треугольники принадлежат множеству С 
Е Р? Принадлежит ли множеству С Е Р треугольник MNK, изображенный на рисунке 9?
рис. 9
66. Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества 
и 
, если А – множество четырехугольников, В – множество квадратов, С – множество параллелограммов. Постройте круги Эйлера для данных множеств. Какие из фигур, изображенных на рисунке 10, принадлежат множеству ? А какие множеству ?
рис. 10
67. Известно, что А – множество четных натуральных чисел, В - множество двузначных натуральных чисел. Выясните, какие из следующих высказываний истинны:
а) Множеству принадлежат двузначные четные натуральные числа.
б) Множество состоит из двузначных натуральных чисел.
в) Элементами множества являются двузначные или четные натуральные числа.
г) Элементами множества являются четные натуральные числа и нечетные двузначные числа.
68. Найдите пересечение и объединение множеств:
а) N и Z; б) Z и Q; в) Q и N; г) Q и R.
69. Запишите элементы множества А\В, если:
а) A = {k, l, f, t, u}, B = {k, l, m, n, o, p};
б) A = {6, 3, 2, 5, 13}, B = {13, 3, 2, 5, 6};
в) A = {5, 10, 15, 20, 25, 30}, B = {10, 20, 30}.
70. Укажите характеристическое свойство элементов множества C\D, если:
а) С – множество учащихся в педагогическом колледже старше 15 лет, D – множество шахматистов этого колледжа;
б) С – множество спортсменов в школе, D – множество отличников в этой школе;
в) С – множество прямоугольников, D – множество четырехугольников с равными сторонами.
71. Какое множество является дополнением:
а) множества комсомольцев школы до множества всех учащихся школы;
б) множества хвойных деревьев до множества всех деревьев;
в) множества четных чисел до множества натуральных чисел?
72. А – множество натуральных чисел, кратных 5, В - множество натуральных чисел, кратных 7. Сформулируйте характеристическое свойство элементов каждого из следующих множеств: 
Есть ли среди этих множеств равные?
73. Укажите порядок выполнения операций над множествами в каждом из следующих случаев:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
; и) 
.
74. Даны множества: А – множество студентов в группе, В - множество студентов в группе, получивших положительную оценку за контрольную работу по математике, С - множество студентов в группе, сдавших экзамен по математике, причем 
Ø. Укажите характеристическое свойство элементов каждого из следующих множеств, изобразив их при помощи кругов Эйлера:
а) ; б) 
; в) 
; г) 
.
75. Даны множества 
, 
, 
. Укажите характеристическое свойство элементов множества:
а) 
; б) 
; в) 
.
76. Диаграмма, приведенная на рисунке 11 , изображает множества X, Y, M. Укажите, какое из следующих множеств изображено на заштрихованной части диаграммы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
рис.11
77. Известно, что А, В и С – подмножества универсального множества. Кроме того, множества А, В и С попарно пересекаются. Изобразите при помощи кругов Эйлера следующие множества:
а) ; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
78. На рисунке 12 при помощи кругов Эйлера изображены множества I, A и B: I – множество учащихся восьмых классов некоторой школы, А - множество учащихся восьмых классов, занимающихся в волейбольной секции, В - множество учащихся восьмых классов, занимающихся в биологическом кружке. Каким множествам принадлежат учащиеся x, y, z, t? Какие из данных высказываний истинны?
а) учащийся t не занимается в биологическом кружке;
б) учащийся t занимается в математическом кружке;
в) учащийся t не занимается ни в волейбольной секции, ни в биологическом кружке.
рис.12
79. Дано: К – множество мальчиков класса, S - множество учащихся класса, занимающихся спортом, Р - множество пионеров класса, причем 
Ø. Укажите характеристическое свойство элементов множеств 
и 
. Известно, что учащийся х – пионер и занимается спортом. Является ли учащийся х элементом множества ? А элементом множества ?
80. К – множество комсомольцев класса, Т - множество спортсменов класса, D - множество отличников класса и 
Ø. Известно, что учащийся х – комсомолец и спортсмен, учащийся у – отличник, но не занимается спортом, учащийся z – ни комсомолец, ни отличник, но занимается спортом.
Выясните, какие из следующих высказываний истинны:
а) 
; б) 
; в) 
.
81. Докажите, что для любых множеств А и В справедливо равенство 
.
82. Докажите, что для любых множеств А, В и С справедливы равенства:
а) 
;
б) 
.
83. Выясните, на основании каких законов операций над множествами произведены следующие преобразования:
а) 
;
б) 
;
в) 
Ø;
г) 
;
д) 
Ø.
84. Используя законы операций над множествами, упростите выражения:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
85. Докажите, что для любых множеств А и В справедливы равенства:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
86. Из множества Х = {a, b, c, d, e, f, k, l} выделили подмножества А, В и С. Выясните, в каком из следующих случаев произошло разбиение множества Х на попарно-непересекающиеся подмножества:
а) A = {a, b, c}, B = {f, k}, C = {d, e, l};
б) A = {a}, B = {b, c, d}, C = {k, l};
в) A = {k, f, e}, B = {b, a, c, l}, C = {e, f, d};
г) A = Ø, B = {a, b, c}, C = {d, e, f, k, l}.
87. Разбейте множество А = {0, 2, 5, 4, 7, 8, 12, 15} на четыре попарно-непересекающиеся подмножества.
88. Из множества всех треугольников плоскости выделили следующие подмножества треугольников:
а) равнобедренные, равносторонние, прямоугольные;
б) остроугольные, тупоугольные, прямоугольные;
в) равносторонние, тупоугольные, прямоугольные.
Выясните, в каком из данных случаев произошло разбиение множества на классы.
89. Укажите среди следующих предложений верные:
а) N = { x| x - составное} { x| x - простое};
б) N = { x| x - составное} { x| x - простое} {1};
в) N = { x| x - четное} { x| x - нечетное}.
90. Назовите три подмножества, на которые разбивается множество точек плоскости при построении на ней:
а) окружности; б) прямой.
91. Множество слов {строитель, садовый, снеговик, посадить, снежный, построить, снежок} разбили на подмножества следующим образом:
С1 = {построить, посадить}, С2 = {садовый, снежный}, С3 = {снеговик, снежок, строитель}. Произошли ли разбиение данного множества слов на классы? Можно ли разбить данное множество на классы другим способом?
92. Дано множество треугольников (рис. 13). Разбейте это множество на классы равных треугольников. Сколько классов получилось? Разбейте это множество на классы другим образом.
рис.13
93. Х – множество дробей: 
. Из этого множества выделили два подмножества Х 1 = 
и Х 2 = 
.
а) Можно ли утверждать, что множество Х разбито на непересекающиеся подмножества Х1 и Х2?
б) Как называются дроби, принадлежащие каждому из подмножеств?
94. Дано множество Р = {3, 5, 7, 11}. Образуйте множество Р1 всех двухэлементных подмножеств множества Р и множество Р2 всех трехэлементных подмножеств множества Р. Верно ли, что Р1 Р2 есть множество всех подмножеств множества Р?
95. Элементами множества Х являются числовые выражения:
Х = {4+2, 23, 4+4, 9-1, 2*3, 8-4}. Образуйте подмножества множества Х так, чтобы каждое подмножество содержало выражения, имеющие равные значения.
а) Сколько таких подмножеств получили ?
б) Можно ли утверждать, что в этом случае произошло разбиение множества Х на попарно-непересекающиеся подмножества?
96. Из множества К геометрических фигур выделили подмножество Р фигур, обладающих свойством «быть прямоугольником».
а) Изобразите множества К и Р при помощи кругов Эйлера.
б) Сформулируйте характеристическое свойство фигур, принадлежащих дополнению множества Р до множества К.
в) На какие классы разбивается множество К геометрических фигур при помощи свойства «быть прямоугольником»?
97. Из множества Х четырехугольников выделили подмножество Р четырехугольников, обладающих свойством «быть прямоугольником» и подмножество Т четырехугольников, обладающих свойством «быть ромбом». На рисунке 14 множества Х, Р и Т изображены при помощи кругов Эйлера. Укажите среди следующих предложений верные:
а) Множество Х разбито на три попарно-непересекающиеся подмножества: 1) прямоугольников, не являющихся ромбами; 2) ромбов, не являющихся прямоугольниками; 3) квадратов.
б) Множество Х разбито на четыре попарно-непересекающиеся подмножества: 1) прямоугольников, не являющихся ромбами; 2) ромбов, не являющихся прямоугольниками; 3) квадратов; 4) четырехугольников, не являющихся прямоугольниками или ромбами.
в) Множество Х разбито на два попарно-непересекающиеся подмножества: 1) прямоугольников; 2) ромбов.
рис.14
98. На какие кассы можно разбить множество треугольников при помощи свойства «быть равнобедренным треугольником»?
99. Укажите классы разбиения множества треугольников, получающиеся при рассмотрении на этом множестве двух свойств: «быть равнобедренным треугольником» и «быть прямоугольным треугольником».
100. В множестве Х учащихся некоторого класса выделили подмножества А, В, С, такие, что 
Ø. Известно также, что элементы множества А обладают свойством «быть лыжником», элементы множества В обладают свойством «быть шахматистом», элементы множества С обладают свойством «быть отличником».
а) Изобразите данные множества А, В, С при помощи кругов Эйлера.
б) Выясните, на сколько попарно-непересекающиеся подмножеств произошло разбиение множества Х при помощи заданных трех свойств.
в) Укажите характеристическое свойство элементов каждого из подмножеств разбиения.
101. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия:
а) «часть речи»;
б) «четырехугольник»;
в) «планета»;
г) «животное»;
д) «растение»;
е) «геометрическая фигура»;
ж) «натуральное число».
102. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий:
а) А: «школьник», В: «пионер»;
б) А: «школьник», В: «комсомолец».
103. Даны понятия А, В, С:
а) А: «полевой цветок», В: «василек», С: «цветок»;
б) А: «четное натуральное число», В: «нечетное натуральное число», С: «натуральное число»;
в) А: «однозначное число», В: «двузначное число», С: «четное число».
Их объемы обозначены соответственно VA, VB, VC. На каком из рисунков 15-17 изображены отношения между объемами этих понятий?
104. Укажите понятие, которое является родовым по отношению к данным в каждом из следующих случаев:
а) деревья, кустарники, травы;
б) капуста, морковь, репа, свекла;
в) подосиновики, опята, сыроежки;
г) луч, отрезок, квадрат, окружность, треугольник;
д) птицы, звери, насекомые, рыбы;
е) натуральное число, целое число, рациональное число.
105. Выясните, в каких случаях истинно высказывание: «Понятие В есть обобщение понятия А», если:
а) А: «отрезок», В: «прямая»;
б) А: «натуральное число», В: «целое число»;
в) А: «архитектура», В: «искусство»;
г) А: «минута», В: «час»;
д) А: «рыба», В: «животное»;
е) А: «окружность», В: «круг».
106. Выясните, в каких случаях истинно высказывание: «Понятие А является видовым по отношению к понятию В», если:
а) А: «луч», В: «прямая»;
б) А: «насекомое», В: «животное»;
в) А: «лист», В: «растение»;
г) А: «месяц», В: «год»;
д) А: «трава», В: «растение»;
е) А: «книга», В: «глава книги»;
ж) А: «документальный фильм», В: «художественный фильм»;
з) А: «треугольник», В: «многоугольник».
107. Дано понятие А: «прямоугольник». Какие из перечисленных ниже свойств являются существенными для этого понятия:
а) параллельность противоположных сторон;
б) равенство диагоналей;
в) наличие прямого угла;
г) цвет;
д) наличие центра симметрии;
е) равенство противоположных сторон;
ж) перпендикулярность диагоналей;
з) расположение на плоскости;
и) соотношение длин сторон?
108. В следующих определениях выделите определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие:
а) Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
б) Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки.
109. Какие из данных понятий несоразмерны и почему:
а) Правильный треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны.
б) Правильный треугольник – это треугольник, у которого все углы равны.
в) Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны равны.
г) Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все углы равны.
д) Тупоугольный треугольник – это треугольник с тупым углом.
е) Остроугольный треугольник – это треугольник с острым углом.
ж) Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые и смежные стороны не равны.
з) Окружность – это геометрическая фигура, все точки которой равноудалены от одной точки.
и) Объединение множеств А и В есть такое множество С, в которое входят те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
110. Найдите ошибки в следующих определениях:
а) Отрезок – это прямая, ограниченная с двух сторон.
б) Окружность – это граница круга, а круг – это фигура, ограниченная окружностью.
в) Математика – это наука.
г) Дуб – это дерево, которое растет в лесу.
111. Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между объемами понятий:
а) А: «треугольник», В: «прямоугольный треугольник», С: «равнобедренный треугольник»;
б) А: «треугольник», В: «равносторонний треугольник», С: «равнобедренный треугольник»;
в) А: «прямые, лежащие в одной плоскости», В: «пересекающиеся прямые», С: «параллельные прямые»;
г) А: «прямые пространства», В: «параллельные прямые», С: «пересекающиеся прямые»;
д) А: «русский алфавит», В: «гласные буквы», С: «согласные буквы»;
е) А: «часть речи», В: «имя существительное», С: «имя прилагательное», К: «глагол», Е: «наречие».
112. Какие из данных высказываний истинны:
а) Животные делятся на птиц и зверей.
б) Ягоды бывают съедобные и несъедобные.
в) Четырехугольники делятся на квадраты, ромбы, прямоугольники и трапеции.
г) Треугольники делятся на равнобедренные, равносторонние и разносторонние.
д) Земной шар делится на восточное и западное полушария.
е) Растения делятся на кустарники, деревья и травы.
113. Среди следующих предложений укажите те, смысл которых совпадает:
а) В записи числа 56 576 содержится 5 цифр.
б) В записи числа 56 576 содержится 3 различные цифры.
в) Длина кортежа {5, 6, 5, 7, 6} равна 5.
г) {5, 6, 7} – множество цифр числа 56 576.
114. С помощью цифр 1, 2, 3, 4 запишите все трехзначные числа. Цифры в записи чисел не должны повторяться. Сколько кортежей длины 3 вы получили?
115. Запишите все возможные трехзначные числа при помощи цифр 2, 4, 6. Цифры в записи чисел могут повторяться.
116. Даны множества: М = {7, 20, 80, 100, 45, 38} и К = {1, 19, 5, 40, 13, 70}. Составьте все пары чисел так, чтобы первое число принадлежало множеству М, а второе – множеству К, причем первое число должно быть меньше второго. Находятся ли среди составленных пар такие пары: (5, 20), (45, 40), (38, 70), (7, 20)? Какие из чисел множества М и множества К не вошли ни в одну из пар?
117. Запишите множество всех дробей, числителем которых является число из множества А = {4, 5} , а знаменателем – число из множества В = {3, 7, 9}.
118. Перечислите все элементы множества 
, если:
а) X = {m, n, p}, Y = {5, 6};
б) X = {2, 5, 7}, Y = {9};
в) X = {р, л, м}, Y = {р, л, м};
г) X =Ø, Y = {а, б, с. к}.
119. Образуй те множество всех двузначных чисел, в которых число десятков принадлежит множеству А ={9, 7, 1}, а число единиц–множеству В={5, 4, 0}. Как связано это решение этой задачи с понятием декартова произведения множеств?
120. Запишите множество всех дробей, числитель и знаменатель которых есть число из множества Р = {5, 5, 6}.
121. Даны множества X={1, 2, 3} и Y={a, b, d}. Укажите среди следующих множеств подмножества декартова произведения :
а) {(1,a), (2,b), (3,d)};
б) {(1,a), (1,b), (2,a), (b, 2)};
в) {(4,a), (2,b), (3,a), (3,b)};
г) {(1,a), (1,b), (1,d), (2,a), (2,b), (2,d), (3,a), (3,b), (3,d)}.
Сколько всего подмножеств имеет множество ?
122. Изобразите элементы декартова произведения множеств А и В на координатной плоскости, если:
а) A={2, 4, 6}, B={0, 1};
б) A={-1, 0 1}, B={-1, 0 1};
в) A= 
, B= 
;
г) A= 
, B= 
.
123. Все элементы декартова произведения множеств X и Y изображены на координатной плоскости (рис.18). Определите множества X и Y.
рис. 18
124. Изобразите на координатной плоскости элементы множества , если:
а) X= 
, Y= 
;
б) X= 
, Y= 
;
в) X= 
, Y= ;
г) X= , Y= 
.
125. Укажите характеристическое свойство элементов множеств X и Y, если изображение на координатной плоскости имеет вид, представленный на рисунке 19.
рис. 19
126. Выясните, как изобразятся на координатной плоскости множества:
а) 
, б) 
, в) 
.
127. Дано множество Х= {2, 4, 6, 8}.
а) Перечислите элементы множества 
.
б) Выделите из множества подмножество А пар, в которых первая компонента равна второй.
в) Выделите из множества 
подмножество В пар, в которых первая компонента больше второй.
г) Выделите из множества подмножество С пар, в которых первая компонента меньше второй.
д) Образуйте множество . Верно ли, что оно равно множеству ?
128. Найдите декартово произведение 
, если М={3, 5, 7}.
а) Запишите множество А пар, в которых первая компонента не больше второй.
б) Запишите множество В пар, в которых первая компонента не меньше второй.
в) Укажите все пары, принадлежащие каждому из множеств: 
129. Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями:
а) Москва - столица России.
б) Эта книга интересная.
в) 8 - целое число.
г) 42 при делении на 5 дает остаток 3.
д) Какой чудесный день!
е) А. С. Пушкин родился в 1799 году.
ж) Вы любите математику?
з) Сосна - лиственное дерево.
и) Существуют ядовитые грибы.
к) Все граждане России имеют право на образование.
130. Среди следующих предложений выделите высказывания и установите их значения истинности:
а) При умножении нуля на любое число получится нуль.
б) 31·11=32.
в) Существуют целые нечетные числа.
г) 42 = 8.
д) В любом прямоугольнике все стороны равны.
е) х-5 < 14.
ж) У всякого натурального числа имеется предшествующее.
з) 3+2 < 2·3-3: 3.
и) Любые три отрезка могут быть сторонами треугольника.
к) х – однозначное число.
131. Выделите среди следующих записей высказывания:
а) х = 1 является решением неравенства х+5 < 3.
б) 2х-1=7.
в) х+3у=2.
г) х-у=9.
д) 2+54 : 3=8+9 : 3.
е) Существует такое число х, что х+1=8.
ж) 26 : 2=87·3.
з) 23- 1>65- 41.
132. Определите, какие из следующих высказываний являются составными; выделите в них элементарные высказывания и логические связки:
а) В одном метре 100 см или 10 дм.
б) 27 кратно 3 и меньше 31.
в) Неверно что, город Киев стоит на берегу Днестра.
г) Сегодня понедельник.
д) Если треугольник АВС равнобедренный, то он равносторонний.
е) 1 – наименьшее натуральное число.
ж) Если сегодня не воскресенье, то в колледже идут занятия.
з) Мы пойдем в поход, если и только если не будет дождя.
133. Сформулируйте отрицание следующих высказываний и укажите, что истинно – само высказывание или его отрицание:
а) Сумма цифр числа 312 равна 6.
б) Число 27 кратно 8.
в) Число 2 является корнем уравнения х+1=4.
г) 9 – однозначное число.
134. Даны высказывания:
А: «Сегодня температура воздуха в Москве ниже 20оС» и В: «Сегодня температура воздуха в Москве выше 5оС».
а) Могут ли эти высказывания быть одновременно истинными?
б) Являются ли они отрицаниями друг друга?
135. Даны высказывания:
А: «Сегодня понедельник» и В: «Сегодня вторник».
а) Могут ли эти высказывания быть одновременно истинными? А одновременно ложными?
б) Являются ли они отрицаниями друг друга?
136. Найдите значения истинности высказываний А и В и объясните, почему они не являются они отрицаниями друг друга:
а) А: «Слово «сад» - прилагательное», А: «Слово «сад» - наречие».
б) А: «Все треугольники являются равнобедренными», А: «Все треугольники не являются равнобедренными».
в) А: «Некоторые лова могут быть разделены на слоги», А: «Некоторые лова не могут быть разделены на слоги».
137. Выявите логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:
а) 8 кратно 4 и 2.
б) Весна и осень – времена года.
в) 2 < 7 и 7 < 5.
г) Разность чисел 5 и -3 равна 8, а их сумма равна 2.
д) 
и 
.
е) х=3 является корнем уравнения х2-9=0 и корнем уравнения 
.
ж) На первом курсе педколледжа изучаются математика и методика математики.
138. Выявите логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:
а) Число 5 – целое или положительное.
б) 12 кратно 3 или кратно 5.
в) 12 кратно 3 или кратно 4.
г) 3 > 3 или 3=3.
д) Слово «группа» - прилагательное или глагол.
139. Составьте таблицы истинности для высказываний: а) А или В; б) либо А, либо В. Сравните их значения при А – «и», В – «и».
140. Дано множество чисел {1, 2,…….., 15}. Выпишите подмножество чисел, кратных: а) 2 или 3; б) либо 2, либо 3; в) 2 и 3.
141. Прочитайте каждое из неравенств, используя союз «или», определите их значения истинности: а) 2 ≤ 3; б) 14 ≥ 9; в) 3·2 ≤ 3+3; г) 1 ≥ 5; д) 7 ≥ 5+2.
142. Выявите логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:
а) Число 5 – натуральное или не натуральное.
б) Число 5 – натуральное и не натуральное.
в) 7 < 3 или 7 ≥ 3.
г) 7 < 3 и 7 ≥ 3.
143. Составьте таблицы истинности для 
и 
. Какой вывод можно сделать?
144. Укажите порядок выполнения операций над высказываниями в каждом из следующих случаев:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
е) 
.
145. Упростите, учитывая порядок выполнения операций над высказываниями:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
146. Упростите:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
е) 
.
ж) 
.
147. Составьте таблицы истинности для высказываний 
и 
. Можно ли утверждать, что эти высказывания являются отрицаниями друг друга? Почему?
148. Докажите, что: а) 
; б) .
149. Вместе многоточия вставьте союзы «и» либо «или» так, чтобы высказывания каждой пары имели одинаковый смысл:
а) Неверно, что Таня посещает математический кружок и хореографическую секцию.
Таня не посещает математический кружок…… не посещает хореографическую секцию.
б) Неверно, что 12 кратно 7 или 5.
12 не кратно 7 ……..не кратно 5.
в) Неверно, что хотя бы одно из множеств N и Q пусто.
Множеств N не пусто …… множеств Q не пусто.
150. Упростите: а) 
; б) 
; в) 
.
151. Докажите, что: а) 
; б) 
.
152. 1) Составьте таблицы истинности для высказываний:
а) 
и 
;
б) и 
.
2) Верно ли, что:
а) 
;
б) 
?
153. Докажите, что:
а) 
;
б) 
.
154. Докажите, что 
.
155. Какие из данных предложений являются высказываниями, а какие - предикатами?
а) Город Москва находится на территории России.
б) Город х стоит на берегу Волги.
в) Абитуриент…..зачислен в педколледж.
г) Разность чисел 5 и 3 равна 2.
д) х=3 является корнем уравнения 2 х+1=7.
е) Разность чисел х и 2 больше 5.
156. Среди данных записей выделите высказывания, числовые выражения, выражения с переменными, предикаты:
а) 2 а+4=25 - а.
б) 3 х - 4 у + 9.
в) 30 – 4·7=28 + 40 : 8.
г) 10 : 2 + 3 – 5·6.
д) 2 + у < 10.
е) 5 + 2 < 12.
ж) 
.
157. На множестве целых чисел задан предикат В (х, у): «х кратно у». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности: В (3, 4), В (12, 6), В (17, 17), В (0, 8), В (7, 0).
158. На множестве фигур плоскости Х задан предикат А (х): «Фигура х - многоугольник». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности: А (трапеция), А (треугольник), А (квадрат), А (семиугольник), А (окружность), А (пятиугольник), А (луч).
159. Предикат С (х): «х < 10» задан на множестве натуральных чисел. Определите, в какое высказывание (ложное или истинное) обращается этот предикат при х = 2, х = 10, х = 15, х = 21.
160. На множестве Х = {0, 2, 4,…..,20} задан предикат В (х): «х кратно 3». Объясните, почему х=15 и х=8 не принадлежат множеству истинности этого предиката, а х=6 принадлежит ему.
161. Какие из значений переменной х = 2, х = -3, х = 7, х = 3 принадлежат множеству истинности предиката С (х): «х3 - 4х2 + х + 6=0», заданного на множестве Х={0, 1, 2, ….., 9}? Ответ объясните.
162. Какие из слов: лампа, стол, пить, лаять, утюг, книга, шить, сумка, зеркало – принадлежат множеству истинности предиката Е (у): «В слове у – четыре буквы», рассматриваемого:
а) на множестве существительных;
б) на множестве глаголов;
в) на множестве прилагательных;
г) на множестве слов в словаре С. И. Ожегова?
163. Найдите множество истинности каждого из следующих предикатов:
А (х): «х – однозначное число» (заданного на множестве натуральных чисел);
В (х): «х – гласная» (заданного на множестве букв русского алфавита);
С (у): «Река у вытекает из озера Байкал» (заданного на множестве рек Сибири);
Е (у): «Город у – столица союзной республики» (заданного на множестве городов России).
164. Среди следующих предложений укажите предикаты и высказывания:
а) х2 – 4=5, х є N.
б) Существует натуральное число х такое, что х2 – 4=5.
в) 3 + с = с + 3, с є R.
г) Для всех действительных чисел верно равенство 3 + с = с + 3.
д) 3 х - 4 < 5, х є N.
е) Любое натуральное число является решением неравенства 3 х - 4 < 5.
ж) х2 < 1, х є N.
з) Существует натуральное число х, квадрат которого меньше 1.
165. Сформулируйте высказывания, используя слова «хотя бы один»:
а) Некоторые животные четвероногие.
б) Существуют слова, являющиеся прилагательными.
в) Некоторые треугольники имеют равные стороны.
г) Существуют плодовые деревья.
166. Дано высказывание А: «Все учащиеся группы сдали экзамен по математике». Укажите среди следующих высказываний отрицание высказывания А:
а) Некоторые учащиеся группы не сдали экзамен по математике.
б) Все учащиеся группы не сдали экзамен по математике.
в) Не все учащиеся группы сдали экзамен по математике.
г) Ни один учащийся группы не сдал экзамен по математике.
167. Среди следующих предложений укажите те, которые являются отрицанием высказывания В: «Некоторые учащиеся класса - отличники»:
а) Ни один из учащихся класса не является отличником.
б) Некоторые учащиеся класса не является отличниками.
в) Не все учащиеся класса – отличники.
г) Все учащиеся класса не является отличниками.
168. Образуйте отрицания следующих высказываний двумя способами и определите, что истинно: само высказывание или его отрицание:
а) В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180о.
б) Существуют съедобные ягоды.
в) В некоторых прямоугольниках диагонали не равны.
г) По крайней мере одно из чисел 10, 11, 12 делится на 2.
д) Все насекомые – вредители.
е) Существуют остроугольные треугольники.
ж) Всякие два угла не равны.
з) Некоторые параллельные прямые не пересекаются.
и) Найдется прямоугольник с двумя прямыми углами.
к) Во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей.
169. На множестве геометрических фигур заданы предикаты:
А (х): «Фигура х - треугольник», В (х): «Фигура х - четырехугольник»,
С (х): «Фигура х имеет прямой угол», Д (х): «В фигуре х все углы прямые». Сформулируйте следующие импликации и изобразите их множества истинности на кругах Эйлера:
а) 
.
б). 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
е) 
.
170. На множестве Х = {0, 1, 2, …….., 9} заданы предикаты: А(х): «Число х кратно 6» и В(х): «Число х кратно 3».
1. Укажите такие значения х, при котрых:
а) предикаты А(х) и В(х) обращаются в истинные высказывания;
б). предикаты А(х) и В(х) обращаются в ложные высказывания;
в) предикат А(х) обращаются в ложное высказывание, а В(х) обращается в истинное высказывание;
г) предикат А(х) обращаются в истинное высказывание, а В(х) обращается в ложное высказывание.
2. Сформулируйте импликацию 
и определите ее множество истинности.
3. Можно ли утверждать, что предикат В(х) следует из предиката А(х) на множестве Х?
171. Предикаты А(х) и В(х) заданы на некотором множестве Х. Множества их истинности обозначены ТА и ТВ соответственно и отношения между ними изображены на рисунке 20.
Укажите среди этих рисунков те, для которых истинны высказывания:
а) Предикат В(х) следует из предиката А(х).
б) Предикат А(х) следует из предиката В(х).
в) Предикат А(х) не следует из предиката В(х) и предикат В(х) следует из предиката А(х).
рис.20
172. На некотором множестве Х заданы предикаты А(х), В(х) и С(х). Изобразите их множества истинности на кругах Эйлера, если известно, что:
а) Предикат В(х) следует из предиката А(х), предикат С(х) следует из предиката В(х).
б) Предикат В(х) следует из предиката А(х), предикат С(х) не следует из предиката А(х) (рассмотрите все возможные случаи).
173. На рисунке 21 изображены множества истинности предикатов А(х), В(х) и С(х), заданных на некотором множестве Х. Справедливы ли данные утверждения?
а) Предикат С(х) следует из предиката А(х).
б) Предикат В(х) следует из предиката А(х).
в) Высказывание 
истинно.
г) Высказывание 
истинно.
д) Высказывание 
истинно.
рис.21
174. Для каждой пары предикатов укажите, какой следует из какого:
а) А(х): «Число х положительное», В(х): «Число х натуральное» (Х – множество действительных чисел).
б) А(х): «Четырехугольник х - квадрат», В(х): «Четырехугольник х - ромб» (Х – множество четырехугольников).
в) А(х, у): «х и у - родственники», В(х, у): «х и у - братья» (Х – множество людей).
г) А(х): «Город х находится в Италии», В(х): «Город х находится в Европе» (Х – множество городов мира).
Сформулируйте соответствующие предложения, используя слово 1)«следует», 2) «всякий».
175. Среди данных предикатов выделите те, которые находятся в отношении следования:
а) А(х,у): «Углы х и у вертикальные», В(х,у): «Углы х и у равны» (Х – множество углов плоскости).
б) А(х): «Длина отрезка х не менее 8 см», В(х): «Длина отрезка х не менее 4 см» (Х – множество отрезков плоскости).
в) А(х, у): «Прямые х и у параллельны», В(х, у): «Прямые х и у расположены в одной плоскости» (Х – множество прямых пространства).
г) А(х): «Животное х земноводное», В(х): «Животное х млекопитающее» (Х – множество животных на земном шаре).
176. Определите, какое утверждение справедливо:
а) Число х положительное; следовательно, оно натуральное.
б) х < 2; следовательно, х < 5.
в) х кратно 6; следовательно, х кратно 12.
г) Разность чисел х и у положительна; следовательно, х > у.
д) Запись числа п оканчивается цифрой 5; следовательно, число п кратно 5.
е) Треугольник АВС равнобедренный; следовательно, он равносторонний.
ж) Четырехугольник х – квадрат; следовательно, в нем есть хотя бы один прямой угол.
177. Даны предикаты:
а) А(х,у): «Точки х и у равноудалены от начала координат», В(х,у): «Точки х и у принадлежат некоторой окружности» (Х – множество точек плоскости).
б) А(х,у): «Треугольники х и у равны», В(х,у): «Треугольники х и у равновелики» (Х – множество треугольников).
в) А(х): «х (х-7)=0», В(х): «х (х-5) +2=2 (х+1)» (Х – множество R).
Укажите, в каких случаях:
1) предикат В(х) следует из предиката А(х);
2) предикат А(х) следует из предиката В(х);
3) предикаты А(х) и В(х) равносильны.
178. Выделите среди следующих пар предикатов равносильные:
а) С(х): «Треугольник х - остроугольный», D(x): «В треугольнике х хотя бы один угол острый» (Х – множество треугольников).
б) Е(х): «Число х кратно14», F(x): «Число х кратно2 и 7» (Х – множество целых чисел).
в)К(х): «Число х кратно8», L(x): «Число х кратно2 и 4» (Х – множество целых чисел).
г) М(х,у): «х < у»,Р(х,у): «Разность чисел х и у отрицательна» (Х – множество действительных чисел).
179. Определите, какие из следующих утверждений истинны:
а) Произведение чисел х и у больше 0 тогда и только тогда, когда х > 0 и у > 0.
б) Площадь фигуры х меньше площади фигуры у тогда и только тогда, когда фигура х помещается внутри фигуры у.
в) Число х кратно 10 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой «0».
г) Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда дискриминант отрицателен.
180. На множестве Х = {0, 1, 2,……,9} заданы предикаты:
А(х): «(х-1) х=0» и В(х): «х (х-1) (х-2) (х-3)=0».
а) Найдите их множества истинности и определите, в каком отношении эти множества находятся.
б) Верно ли, что В(х) следует из А(х)?
в) Можно ли утверждать, что А(х) – достаточное условие для В (х)? Если да, то сформулируйте предложение, используя слово «достаточно».
г) Можно ли утверждать, что В(х) – необходимое условие для А (х)? Если да, то сформулируйте предложение, используя слово «необходимо».
181. На множестве Z – целых чисел заданы предикаты: D(x): «х – делитель 12» и Е(х): «х – делитель 36».
а) Докажите, что предикат Е(х) следует из предиката D(x).
б) Сформулируйте предложение в виде «Если……, то…..».
в) Сформулируйте предложение с помощью слова «достаточно».
г) Сформулируйте предложение с помощью слова «необходимо».
182. Следующие высказывания сформулируйте в виде «Если……, то…..»:
а) Наличие прямого угла в четырехугольнике необходимо для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником.
б) Параллельность прямых – достаточное условие того, чтобы они лежали в одной плоскости.
в) Равенство двух чисел достаточное условие равенства их квадратов.
г) Кипение жидкости при температуре 100оС есть необходимое условие для того, чтобы жидкость была водой.
183. Какие из следующих высказываний истинны:
а) Присутствие на всех занятиях по математике является достаточным условием для успешной сдачи экзамена по математике.
б) Наличие паспорта необходимо для приобретения билета на самолет.
в) Равенства числителя дроби нулю достаточно для равенства нулю всей дроби.
г) Достижение 18 летнего возраста необходимо для участия в выборах.
184. На множестве Х – деревьев заданы предикаты: М(х): «Дерево х хвойное», Р(х): «Дерево х вечнозеленое».
а) Выясните, является ли условие М(х) достаточным для Р(х).
б) Выясните, является ли условие М(х) необходимым для Р(х).
в) Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»: «Для того, чтобы дерево было вечнозеленым,…., чтобы оно было хвойным».
185. На множестве Х – студентов 1 курса педколледжа заданы предикаты: Р(х): «Студент х написал контрольную работу по русскому языку» и К(х): «Студент х допущен к сдаче зачета по русскому языку».
а) Выясните, является ли условие Р(х) достаточным для К(х).
б) Выясните, является ли условие Р(х) необходимым для К(х).
в) Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»: «Для того, чтобы студент х был допущен к сдаче зачета по русскому языку,......., чтобы он написал контрольную работу по русскому языку».
186. Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»:
а) Для того, чтобы фигура имела площадь, ……, чтобы она была прямоугольником.
б) Для того, чтобы сумма двух целых неотрицательных чисел была больше каждого из слагаемых, ……, чтобы оба слагаемых были положительны.
в) Для того, чтобы треугольник был равносторонним, ……, чтобы он был остроугольным.
г) Для того, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, ……, чтобы оба множителя были равны нулю.
д) Для того, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, ……, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.
е) Для того, чтобы произведение двух чисел не было равно нулю, ……, чтобы хотя бы один из множителей не был равен нулю.
187. Определите в каких случаях вместо многоточия можно поставить слова «необходимо и достаточно», и сформулируйте эти предложения в виде эквиваленции:
а) Для того, чтобы число являлось натуральным, ……, чтобы оно было целым.
б) Для того, чтобы целое число делилось на 4, ……, чтобы его запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
в) Для того, чтобы треугольник был прямоугольным, ……, чтобы сумма квадратов катетов равнялась квадрату гипотенузы.
г) Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, ……, чтобы он имел хотя бы одну ось симметрии.
д) Для того, чтобы целое число было кратно 12, ……, чтобы оно было кратно 3.
188. Сформулируйте следующие высказывания:
1) в виде импликации, 2) используя слово «достаточно»:
а) Четырехугольник является ромбом тогда, когда все его стороны равны.
б) Фигуры равновелики тогда, когда они равны.
в) График функции у=f(x) симметричен относительно оси Оу тогда, когда функция у=f(x) четная.
189. Сформулируйте следующие высказывания:
1) в виде импликации, 2) используя слово «необходимо»:
а) Только те углы вертикальные, которые равны.
б) Только те учащиеся будут переведены в следующий класс, у которых нет неудовлетворительных оценок за год.
в) Две прямые пересекаются тогда, когда они лежат в одной плоскости.
190. Определите, какие из следующих высказываний истинны:
а) Целое число делится на 25 только тогда, когда его запись оканчивается двумя нулями.
б) Целое число делится на 25 тогда, когда его запись оканчивается двумя нулями.
в) Целое число делится на 25 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается двумя нулями.
191. В следующих теоремах выделите разъяснительную часть, условие и заключение; запишите их в символическом виде:
а) Если прямая а параллельна прямой в, а прямая в параллельна прямой с , то прямые а и с параллельны.
б) Если а кратно с или в кратно с, то произведение ав кратно с.
в) Если а > в, то в множестве N существует разность а-в.
г) Если прямая а перпендикулярна прямой в, а прямая в перпендикулярна прямой с , то прямые а и с параллельны.
192. Сформулируйте следующие теоремы в виде «если….., то….» и выделите разъяснительную часть, условие и заключение:
а) Во всяком квадрате диагонали равны.
б) В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180о.
в) Всякое целое число, запись которого оканчивается четной цифрой, делится на 2.
г) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
193. выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем:
а) Для того, чтобы диагонали четырехугольника делились в точке пересечения пополам, достаточно, чтобы этот четырехугольник был параллелограммом.
б) Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы противоположные стороны четырехугольника были попарно параллельны.
в) Для того, чтобы п делилось на 6, необходимо, чтобы его запись оканчивалась четной цифрой.
г) Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпали.
194. Среди следующих теорем выделите имеющие один и тот же смысл:
а) Во всяком равнобедренном треугольники два угла равны.
б) Если в треугольники два угла равны, то треугольник равнобедренный.
в) Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы его два угла были равны.
г) Для того, чтобы в треугольнике два угла были равны, необходимо, чтобы этот треугольник был равнобедренным.
д) Всякий треугольник, у которого два угла были равны, является равнобедренным.
е) Если треугольник равнобедренный, то два угла треугольника равны.
195. Даны предикаты:
А(у): «Четырехугольник у - прямоугольник»,
В(у): «В четырехугольнике у диагонали равны»,
С(у): «В четырехугольнике у противоположные углы равны»,
Д(у): «В четырехугольнике у диагональ делит его на два равных треугольника».
а) Какие из предикатов из каких следуют?
б) Составьте из соответствующих пар предикатов истинные теоремы.
в) Сформулируйте эти теоремы, используя слово «всякий»; в виде «если….., то….»; с помощью слова «необходимо»; с помощью слова «достаточно».
196. Для каждой из теорем задания 581 сформулируйте обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы и определите их значения истинности.
197. Дана теорема: «Противоположные углы параллелограмма равны». Какие из следующих предложений равносильны ей:
а) Если в четырехугольнике противоположные углы равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
б) Если в четырехугольнике противоположные углы не равны, то этот четырехугольник – не параллелограмм.
в) Если четырехугольник не параллелограмм, то противоположные углы его не равны
г) Если четырехугольник - параллелограмм, то противоположные углы в нем равны.
198. Равносильны ли данные теоремы:
а) «Если а > в и с > 0, то ас > вс» и «Если ас > вс, то а > в и с > 0».
б) «Если а > в и с > 0, то ас > вс» и «Если а ≤ в или с ≤ 0, то ас ≤ вс».
в) «Если а > в и с > 0, то ас > вс» и «Если ас ≤ вс, то а ≤ в или с ≤0»?
199. Постройте отрицание высказывания и сформулируйте отрицания следующих импликаций:
а) Если а:в=с, то а=вс.
б) Если х > 0 и у > 0, то произведение ху > 0.
в) Если произведение ху=0, то хотя бы один из множителей равен 0.
200. Докажите теоремы методом от противного:
а) Если а//в и в//с, то а//с.
б) Если произведение двух чисел делиться на 6, то хотя бы один из множителей делиться на 2.
в) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Сформулируйте для каждого случая 1) что дано, 2) что требуется доказать, 3) сделанное допущение, 4) заключение, полученное на основании допущения, 5) в чем заключается полученное противоречие, 6) что следует из полученного противоречия.
Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы
Основные источники:
1. Стойлова, Л.П. Математика. – М.: Академия, 2010.
2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика. – Ростов на Дону: Феникс, 2011.
3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математика. - М.: Высшая школа, 2012.
4. Богомолов, Н. В. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов – М.: Дрофа, 2013.
5. Богомолов, Н. В. Сборник задач по математике: учебное пособие для ссузов – М.: Дрофа, 2012.
6. Богомолов, Н.В. Математика: Учебник для ссузов – М.: Дрофа, 2010.
Дополнительные источники:
1. Стойлова, Л.П. Методические рекомендации к самостоятельной работе над курсом математики. – М., 2010.
2. Пехлецкий, И.Д. Математика. – М.: Академия, 2010.
Периодические издания:
1. Журнал «Математика в школе».
2. Журнал «Математика» (приложение к газете «Первое сентября»).
Интернет ресурсы:
1. Российское образование. Федеральный портал. Форма доступа: www.edu.ru.
2. Российский Общеобразовательный портал http://www.school.edu.ru/.
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»
http://festival.1september.ru/.
4. Математика в школе
http://metodisty.ru/m/groups/files/matematika_v_shkole?cat=32.
5. Pedsovet.su http://pedsovet.su/load/18.
6. Первое сентября http://www.1september.ru/ru/
Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 86; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!