Изучение электрических затухающих колебаний.

Министерство образования и науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное

 учреждение высшего профессионального образования

«Восточно–Сибирский государственный

Университет технологий и управления»

(ФГБОУ ВПО ВСГУТУ)

 

Изучение электромагнитных затухающих колебаний

Методическое указание к лабораторной работе

 

                                                         Составители: Санеев Э.Л.

                                                                            Манжуев В.М.

                                                                            Шагдаров В.Б.

 

 

Улан-Удэ

Издательство ВСГУТУ

2011

 

В лабораторной работе изучаются свободные электромагнитные затухающие колебания при помощи осциллографа. По результатам работы строится зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура, по которой находится сопротивление катушки. Определяется активное сопротивление контура. Рассчитывается добротность контура.

 

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Общие положения.

Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается. Закон, по которому происходят колебания, зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Линейными системами являются, к примеру, пружинный маятник при малых деформациях пружины, колебательный контур индуктивность, ёмкость и сопротивление которого не зависит ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

                                               (1.1)

где s - колеблющаяся величина, β = const - коэффициент затухания, ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы при отсутствии потерь энергии (при β = 0) называется собственной частотой колебательной системы.

При не слишком сильном затухании (при β < ω₀) общее решение уравнения (1.1) имеет вид:

                                          (1.2)

где A₀ и φ - произвольные постоянные, ω- величина, определяемая формулой:

.                                          (1.3)

На рисунке 1 дан график функции (1.2). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки s.

Рис.1 График функции

 

В соответствии с видом функции (1.2) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты  с амплитудой, изменяющейся по закону:

.

Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t), причем величина А₀представляет собой амплитуду в начальный момент времени.

Период затухания колебаний равен:

При незначительном сопротивлении среды (β < ω₀) период колебаний практически не изменяется и равен

.

Последующие наибольшие отклонения в какую–либо сторону (например,  и т.д. на рис.) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если , то ,  и т.д.

Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

Это соотношение называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм – логарифмическим декрементом затухания.

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания. Выразив β через δ и Т, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:

.

Таким образом, величина δ определяет степень убывания амплитуды в течение одного периода.

Важной характеристикой колебательной системы является добротность Q - безразмерная величина, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до (t + Т), то есть за один период колебания:

Так как энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний A(t), то

При малых значениях логарифмического декремента затухания (δ <<1) [1 – еxp(-2δ) ≈ 2δ] и добротность колебательной системы

                                              (1.4)

(T принято равным Т₀, так как затухание невелико (β << ω₀)).

 

Электромагнитные колебания.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R, соединенных между собой последовательно (рис. 2).

Рис.2 Колебательный контур

Если предварительно заряженный конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то в контуре (рис. 2) возникнут свободные (или собственные) электромагнитные колебания. Точную характеристику этого процесса получим, применив к колебательному контуру обобщенный закон Ома IR = U_c + . Здесь U_c - разность потенциалов на обкладках конденсатора в произвольный момент времени;  - ЭДС самоиндукции (в рассматриваемом контуре это единственная ЭДС); ток в контуре I и заряд на конденсаторе q связаны соотношением I = - (dq/dt). где q = CU_c. знак « - » указывает на то, что положительным считается направление тока, соответствующее убыли заряда (разности потенциалов) на конденсаторе.

Подставив значения , I и U_c = q/ C в закон Ома и разделив на L, получим

                                       (1.5)

Решение уравнения (1.5) имеет вид

где ω - циклическая частота возникающего в контуре колебательного процесса; φ₀ - начальная фаза; β = R/2 L - коэффициент затухания колебаний.

Разность потенциалов обкладок конденсатора изменяется по тому же закону, что и заряд:

, где .

График зависимости U_c(t)(для φ₀ = 0) изображен на рис.3. Множитель A(t) = U₀e^{-β t},

 

                                   Рис.3

 

называемый амплитудой колебательного процесса, убывает по экспоненциальному закону (пунктирная линия на рис. 3); U₀ - начальная амплитуда. Величина ω согласно (1.1), (1.3) и (1.5) определяется формулой

.

Из этого выражения следует, что свободные затухающие колебания возможны в контуре, сопротивление которого удовлетворяет условию

или

При этом переход электрической энергии в магнитную и обратно будет происходить с потерей на джоулево тепло. Если , то разряд конденсатора теряет колебательный характер и происходит апериодически. Сопротивление, при котором начинается апериодический процесс, называется критическим.

В отсутствие сопротивления ( R = 0) в контуре возникают свободные незатухающие колебания с частотой , которую называют собственной частотой контура. Период таких колебаний

.

При этом энергия электрического поля конденсатора С полностью переходит в энергию магнитного поля катушки L и наоборот.

При малых затуханиях (δ <<1) для добротности контура из (1.4) следует:

.                                                          (1.6)

 

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА

Установка.

а)

б) в)

Рис. 4 Лабораторная установка.

а) генератор импульсов: 1 – регулятор частоты; 2 – кнопка включения прямоугольных сигналов; 3 – делитель диапазона частоты; 4 – регулятор изменения амплитуды выходного сигнала; 5 – основной выход сигнала.

б) схема лабораторного модуля: 5 – гнезда для подключения генератора импульсов; 6 - гнезда для подключения осциллографа; 7 – переключатель сопротивлений.

в) осциллограф: 1 – вход Y; 10 – регулятор изображения осциллограммы по вертикали; 3 – усилитель вертикальной развертки; 11 - регулятор изображения осциллограммы по горизонтали; 5 – тумблер отключения усилителя горизонтальной развертки; 6 – вход X.

 

Установка (Рис.4) состоит из генератора прямоугольных импульсов,колебательного контура LCR и электронного осциллографа (ЭО). Схема установки изображена на рис. 5

Рис.5

К гнёздам «PQ» лабораторного модуля LCR подаётся прямоугольный сигнал от генератора гармонических колебаний. В промежутке между импульсами в контуре LCR совершаются затухающие колебания. Разность потенциалов с обкладок конденсатора (гнёзда «PO») подается на вертикально отклоняющие пластины Y осциллографа, на экране которого наблюдается картина затухания колебаний.

Методы измерений.

 При определении зависимости логарифмического декремента затухания δ от сопротивления контура, для большей точности рекомендуется рассматривать амплитуды в моменты времени, разделенные не одним, а несколькими периодами (например, п = 3, рис. 6); тогда

                                          (2.1)

Значения амплитуд A(t)и A(t+ nT)измеряют по шкале экрана осциллографа. Опыты производят при разных значениях сопротивления контура.

При изучении зависимость периода Т собственных затухающий колебаний контура от величины сопротивления R понятие периода вводится условно, так как затухающие колебания не являются периодическими. Величину Т определяют по формуле

                                    (2.2)

Для нахождения Т измеряют время τ нескольких n колебаний (рис. 6). Определение временных промежутков производят следующим образом. С помощью делений шкалы трубки осциллографа измеряют по горизонтальной оси расстояние х в делениях шкалы между двумя точками, интервал времени τ между которыми необходимо рассчитать. Измеренное по шкале расстояние х вделениях, умножается на цифровое значение индекса длительности развертки на деление шкалы, а затем на показание переключателя «множитель» γ. В этом случае рассматриваемый интервал времени будет равен

,

а период колебаний определяется по формуле:

.

Лабораторная работа №16

Изучение электрических затухающих колебаний.

 

I. Цель работы:

· Исследовать электрические затухающие колебания при помощи осциллографа.

· Построить по результатам опыта зависимость логарифмического декремента затухания δ от сопротивления контура.

· Определить сопротивление катушки.

· Рассчитать период затухающих колебаний.

· Рассчитать добротность контура.

 

---

Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 84; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!