Вопрос 3. Следствия из аксиом стереометрии
Вопрос 1. Предмет стереометрии.
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур: шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.
Обозначение основных фигур стереометрии
Рис. 1.
А, В, С, D – точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.
АВ = 
, CD = b – прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.
– плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).
Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В. Прямая может быть также обозначена как АВ.
Рассмотрим прямую b, на ней лежат точки С и D. Прямая b может быть также обозначена как СD.
Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.
Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, 
. Например, точка А принадлежит прямой : 
.
Рассмотрим плоскость 
(Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : 
. А вот прямая не принадлежит плоскости : 
.
Вопрос 2. Аксиомы стереометрии
Первая аксиома стереометрии
Аксиомы стереометрии.
Аксиома 1 (А1)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
|
|
|
Пояснение к аксиоме А1.
Рис. 2.
Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ: 
(Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.
Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.
Вторая аксиома стереометрии
Аксиома 2 (А2)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.
Пояснение к аксиоме А2.
Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).
Рис. 3.
Аксиома утверждает – все точки прямой (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.
Эту аксиому можно записать следующим образом:
Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.
Если у прямой и плоскости одна общая точка М, то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: 
.
|
|
|
Рис. 4.
Третья аксиома стереометрии
Аксиома 3 (А3)
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
Пояснение к аксиоме А3.
Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость 
. Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости 
и плоскости . (Рис. 5)
Рис. 5.
Отсюда вытекает, что существует прямая , которая проходит через точку М, которая одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости b. Вот в этом случае и говорят, что плоскости и пересекаются по прямой .
Смысл аксиом разъясняется в многочисленных вопросах и задачах. Вот некоторые из них.
Вопрос 3. Следствия из аксиом стереометрии
Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Пусть даны прямая aa и точка CC. Возьмем на прямой aa две точки: AA и BB.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!