Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
К этому типу интегралов относятся интегралы вида:
;
; 
Мы увидим в дальнейшем, что без умения находить такие интегралы, мы не сможем вычислять интегралы от рациональных дробей.
Сначала научимся находить более простые интегралы видов 
и 
.
Трудность заключается в наличии слагаемого bx. Если бы его не было, то, вынося за знак интеграла 
, получили бы интеграл вида (11) или (12). Решить проблему можно выделением полного квадрата.
Пример 16 
.
Решение.
Пример 17 
.
Решение.
.
Пример 18 
.
Решение.
Пример 19 
.
Решение.
где 
- интеграл, рассмотренный в примере 17.
Интегрирование рациональных дробей
Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно.
.
Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида 
в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:
|
|
|
.
В частности при 
имеем только одно слагаемое: 
.
Каждому квадратичному сомножителю 
соответствует группа дробей вида:
,
а при - одно слагаемое 
.
Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:
Пример 20 
.
Пример 21 
.
Пример 22 
.
Пример 23 
.
Пример 24 
.
Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида:
I 
, III 
,
II 
, 
, IV 
.
Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида:
,
которые находятся по рекуррентной формуле:
.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.
Пример 25 
.
Решение.
.
После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:
|
|
|
.
Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.
Если в данном тождестве в качестве 
взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.
В результате получим:
.
Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.
Пример 26 
.
Решение.
.
Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.
Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.
Пример 27 
.
Решение.
.
Положив последовательно 
и 
, легко найдем два неизвестных коэффициента:
Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:
|
|
|
Тогда
.
Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.
Пример 28 
.
Решение.
.
.
Положим 
:
Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:
Тогда
Вопросы для самопроверки
1. Что называется первообразной?
2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
3. В чем заключается метод замены переменной?
4. Какие функции целесообразно интегрировать по частям? Почему?
5. Как разложить рациональную дробь на простейшие?
Определенный интеграл
Пусть функция 
определена на отрезке 
. Разобьём этот отрезок на части точками 
Получим 
частичных отрезков длиной 
= 
каждый.
В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку 
и вычислим в ней значение функции 
.
Составим сумму произведений:
.
Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Перейдем к пределу в последнем выражении, когда максимальный из отрезков 
.
Если при этом сумма 
имеет предел 
, не зависящей от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек 
в них, то число называют определенным интегралом от функции на отрезке :
|
|
|
В таких случаях функцию 
называют интегрируемой на отрезке и для нее справедлива теорема, утверждающая, что любая непрерывная на отрезке функция, является интегрируемой.
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 252; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!