Преобразование случайных измерительных сигналов
IV . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
СИГНАЛОВ
4.1. Преобразование измерительных сигналов линейной системы
В процессе измерения информативного сигнала x(t) осуществляется его преобразование в выходной сигнал измерительного устройства y(t). Характер этого преобразования определяется свойствами входящих в измерительное устройство преобразователей и описывается функцией преобразования
(4.1)
К числу основных операций такого измерительного преобразования сигнала x(t) относятся: функциональное преобразование и изменение физической природы информативных сигналов, модуляция и детектирование сигналов, фильтрация информативных сигналов и помех, квантование измерительных сигналов.
Преобразование сигнала x(t) в сигнал y(t) может быть линейным и нелинейным. Линейное преобразование отвечает условию
(4.2)
Преобразователи, осуществляющие линейное или нелинейное преобразования называются соответственно линейными или нелинейными.
Рассмотрим модели процесса преобразования измерительных сигналов линейными измерительными устройствами – приборами и системами.
Преобразование детерминированных сигналов линейной
Измерительной системой
На рис. 4.1 приведена обобщенная модель преобразования измерительного сигнала x(t) в выходной сигнал y(t) линейной измерительной системой с известными статическими и динамическими характеристиками.
|
|
|
Рис.4.1. Обобщенная схема линейной измерительной системы
В общем случае процесс преобразования описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида
(4.3)
При решении инженерных задач уравнение (4.3) представляют в операторной форме
(4.4)
где X(p) и Y(p) – изображения по Лапласу входного и выходного сигналов; A(p) и B(p) – соответствующие операторы преобразования; 
– оператор Лапласа.
Функция 
– называется операторной чувствительностью или передаточной функцией линейной измерительной системы.
Для изучения свойств линейной измерительной системы и его реакции на входной сигнал x(t) необходимо решать уравнения (4.3) или (4.4). Поскольку непосредственное их решение не всегда возможно, то применяют косвенные методы, сводящиеся к оценке реакции измерительной системы на характерные (стандартные) входные сигналы; например, единичный импульс δ(t), экспоненциальный сигнал e-kt, гармонический сигнал e-jωt.
Реакция измерительной системы на входной сигнал x(t)= δ(t) имеет вид
|
|
|
(4.5)
где hi – постоянные числа; λi – корни характеристического уравнения B(p)=0, которые предполагаются некратными.
Функция h(t) называется импульсной переходной характеристикой (весовой функцией) измерительной системы. Если известна функция h(t), то реакция системы на произвольный сигнал x(t) будет определяться известной теоремой свертки [!!! ]
(4.6)
Если умножить обе части уравнения (4.6) на e-pτ и проинтегрировать в пределах от 0 до ∞, то в соответствии с преобразованием Лапласа получим
где 
(4.7)
Отсюда следует, что операторная чувствительность (передаточная функция) W(p) является преобразованием Лапласа импульсной переходной характеристики h(t) линейной измерительной системы.
Умножив уравнение (4.6) на e-jωt и проинтегрировав в пределах от -∞ до +∞, получим преобразование Фурье
(4.8)
где W(jω) – комплексная чувствительность (комплексная частотная характеристика) измерительной системы.
Модуль |W(jω)| называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), а фаза – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) измерительной системы.
|
|
|
Таким образом, для описания динамических и частотных свойств измерительной системы используются дифференциальное уравнение, импульсная переходная характеристика, операторная чувствительность (передаточная функция), комплексная частотная характеристика. Знание одной из этих характеристик достаточно для определения остальных и описания процесса преобразования детерминированного входного сигнала x(t) в выходной сигнал y(t) линейной измерительной системы.
Преобразование случайных измерительных сигналов
Для устойчивых динамических измерительных систем при ограниченных случайных сигналах x(t) и при условии, что h(t)=0 для t<0 уравнение (4.6) можно записать в виде
(4.9)
то есть выходной случайный сигнал y(t) будет также ограничен.
Если x(t) – стационарный случайный сигнал, то его математическое ожидание M[x(t)]=mx=const. Применяя операцию математического ожидания к уравнению (4.7) и учитывая, что эта операция переставима с интегрированием, получим
(4.10)
Рассмотрим случайный процесс x(t) с нулевым математическим ожиданием (mx=0). Умножая правые и левые части уравнения (4.9) на 
и, беря операцию математического ожидания, получим
|
|
|
(4.11)
На основе коммутативности операций математического ожидания и интегрирования можно записать
или
(4.12)
Полученное уравнение связывает автокорреляционные функции сигналов на входе и выходе измерительного устройства или системы.
Если воспользоваться преобразованием Фурье, то можно установить связь между спектральными плотностями мощности сигналов на входе и выходе
Вводя новую переменную V=τ+η-ξ, получим
Используя соотношение вида
получим
(4.13)
То есть спектральная плотность мощности выходного сигнала представляет собой спектральную плотность мощности входного случайного сигнала умноженную на квадрат модуля комплексной чувствительности.
Аналогично связь взаимных корреляционных функций и спектральной плотности мощности сигналов на входе и выходе будут иметь вид
(4.14)
(4.15)
(4.16)
Полученные соотношения позволяют проводить анализ процессов преобразования случайных сигналов линейной измерительной системой.
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!