Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А,В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением
Ax + By + C = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2) перпендикулярно вектору n (3, −1) .
Составим при А=3 и В=-1 уравнение прямой: 3x − y + C = 0 . Для нахождения коэффициента
С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 − 2 + C = 0 , следовательно С=-1.
Итого: искомое уравнение: 3x − y −1 = 0 .
Уравнение прямой , проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой,
| Проход ящей через эти точки: | x − x 1 | = | y − y 1 | = | z − z 1 | ||||||
| x | 2 | − x | y | 2 | − y | z | 2 | − z | |||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоско На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: y − y1 = y2 − y1/ (x − x1 ) , если x2 − x1
x1 ≠ x2 и x = x1 , если x1 = x2 .
Дробь y2 − y1 = k называется угловым коэффициентом прямой.
x2 − x1
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 привести к виду:
| y = −
| A | x − | C | и обозначить − | A | = k; | − | C | = b; т.е. y = kx + b , то полученное уравнение | ||
| B | B | ||||||||||
| B B | |||||||||||
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор а(α1,α2 ) , компоненты которого удовлетворяют условию A α1 + B α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ax + By + C = 0 .
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а(1,-1) и проходящей через точку А(1,2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0 . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1A + (−1) B = 0 , т.е. A = B . Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0 , или x + y + C / A = 0 . при х=1, у=2 получаем С/A=-3, т.е. искомое уравнение: x + y − 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ax + By + C = 0,C ≠ 0 , то, разделив на –С,
| получим: − | А | х − | В | у = 1 или | x | + | y | = 1, где a = − | C | ; | b = − | C | |
| С
| С | a | b | A | B | ||||||||
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Нормальное уравнение прямой
| Если обе части уравнения Ax + By + C = 0 разделить на число μ = ± | 1 | , которое | |
| + B ^2 | |||
| Sqrt( A ^2 | ) |
называется нормирующем множителем, то получим x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ C < 0 .
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ϕ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох
Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2 x + b2 , то острый угол между
| этими прямыми будет определяться как tg α = | k2 − k1 | . | ||
| 1+ k1k2
| ||||
Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = −1/ k2 .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1,у1) и перпендикулярная к прямой y = kx + b представляется уравнением:
| y − y = − | 1 | (x − x ) | ||||||||||
| 1 | k | 1 | ||||||||||
| 10. Расстояние от точки до прямой | ||||||||||||
| Теорема. | Если задана точка М(х 0 , у 0 ), то расстояние до прямой Ax + By + C = 0 | |||||||||||
| определяется как d = | Ax 0 + By 0 + C | . | ||||||||||
| A 2 | + B 2 | |||||||||||
| Пример. Определить угол между прямыми: y = − 3x + 7, y = 2x + 1. | ||||||||||||
| k = − 3, k | 2 | = 2tg ϕ = | 2 − ( − 3) | = 1; ϕ = π / 4. | ||||||||
| 1 | 1 − ( − 3)2 | |||||||||||
| Пример. Показать, | что прямые 3x − 5y + 7 = 0 и 10x + 6y − 3 = 0
| |||||||||
| перпендикулярны. | ||||||||||
Находим: k1 = 3/ 5, k2 = −5 / 3, k1k2 = −1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А( 0 ; 1 ) , B ( 6 ; 5 ) , C ( 1 2 ; - 1 ) .
| Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. | |||||||||||
| Находим уравнение стороны AB : | x − 0 | = | y − 1 | ; | x | = | y − 1 | ; 4 x = 6 y − 6 | ; | ||
| 6 − 0 | 5 − 1 | 6 | 4 | ||||||||
2x − 3y + 3 = 0; y = 23 x + 1.
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + bk = − 32 Тогда
y = − 32 x + b . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: − 1 = − 3212 + b, откуда b=17. Итого: y = − 32 x + 17 .
Ответ: 3x + 2 y − 34 = 0 .
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 36; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!