Формула коренів квадратного рівняння
Алгебраїчні рівняння. Основні властивості рівнянь
1. Лінійні рівняння.
2. Квадратні рівняння.
3. Дробово-раціональні рівняння.
4. Системи рівнянь
Рівняння - це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами. Невідомі числа в рівнянні називають змінними. Змінні найчастіше позначають буквами x, y, z, хоча можна позначити їх і іншими буквами.
Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем , або розв'язком.
Наприклад
Рівняння 3x-17=7 має розв'язок x=8,
Рівняння x(x-2)(x-3)=0 має три корені: x=0, x=2, x=3.
Рівняння x -7= x не має жодного кореня
Розв'язати рівняння - це означає знайти всі його розв'язки або показати, що їх не існує.
Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають однакові розв'язки. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають розв'язків.
Щоб розв'язувати складніші рівняння, слід вміти замінювати їх простішими і рівносильними даним.
Основні властивості рівнянь.
1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.
2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.
3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.
4. Рівняння виду 
замінюємо рівносильною системою 
5. Не можна ділити рівняння на вираз, що містить невідоме, тому що можна загубити корені. Потрібно перенести все в одну сторону і спільний множник винести за дужки.
|
|
|
6. Якщо при розв’язанні рівняння підносимо обидві частини до парного степеня, то необхідно перевірити корені, бо ця дія призводить до одержання лишніх коренів.
Увага! Корені для перевірки підставляємо в умову!
Лінійні рівняння. Розв’зування лінійних рівнянь і таких, що зводяться до лінійних
Рівняння виду 
називається лінійним рівнянням із змінною х. Числа a,b - коефіцієнти даного рівняння; a - коефіцієнт при змінній x, b - вільний член рівняння. Якщо a≠0, то рівняння ax+b називають рівнянням першого степеня з однією змінною .
Лінійне рівняння може не мати коренів, мати один корінь або безліч.
Наприклад
Рівняння 0 
x=5 не має жодного розв'язку, бо не існує числа, яке б при множенні на 0 у добутку дало 5; рівняння 0 x=0 має безліч коренів, його задовольняє довільне значення змінної х.
Два вирази, відповідні числові значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, називаються тотожньо рівними або тотожніми
Квадратні рівняння
Означення квадратного рівняння. Розв’язки неповних квадратних рівнянь
| Означення: Квадратним рівнянням називають рівняння виду ах2+ bx +c = 0, де x змінна, коефіцієнти а,b,c – будь-які дійсні числа, а
| |||||
| а – перший або старший коефіцієнт,b – другий коефіцієнт. | |||||
| Квадратне рівняння повне | Зведене квадратне рівняння Квадратне рівняння називають зведеним, якщо коефіцієнт a дорівнює одиниці | ||||
| ах2 + bx +c = 0 | х2 + bx +c = 0 | ||||
| Неповне квадратне рівняння Якщо коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним . Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: | |||||
а  b = 0, с = 0 ax2 = 0 x = 0
| а
| а  , b = 0, с ax2 +c =0 x2 =  x1,2 = 
| |||
.
Приклад1
Знайти корені рівняння 2x2-18=0.
Розв'язання
2x2-18=0;
2x2=18;
x2=9;
Відповідь: x1=3, x2= -3.
Формула коренів квадратного рівняння
| Квадратне рівняння: ax2 + bx + с =0 | |
| Дискримінантом рівняння ax2+bx+c=0 називають вираз D = b2 – 4aс. | |
| Алгоритм розв’язування квадратного рівняння загального вигляду | |
| Умова | Розв’язування |
| D < 0 | Рівняння не має коренів в області дійсних чисел |
| D = 0 | Рівняння має 2 однакових корені: x1,2 = –  .
|
D  0
| x1 =  , x2 =  .
|
Розклад квадратного тричлена на множники:
ax2 + bx + с =а 
| |
В ластивості коефіцієнтів квадратного рівняння:
|
|
|
ax2 + bx + с =0.
1. Якщо а+b+с=0, то перший корінь завжди дорівнює одиниці, а другий дорівнює відношенню вільного члена до коефіцієнта при старшому степені змінної, тобто
2. Якщо а-b+с=0, то перший корінь завжди дорівнює мінус одиниці, а другий дорівнює відношенню вільного члена до коефіцієнта при старшому степені змінної, взятим з протилежним знаком,тобто
Приклад2.
Не розв’язуючи рівняння, знайдіть корені
Приклад3.
Знайти корені рівняння x2 + 4x -21=0.
Розв'язання
D=42-4·1·(-21)=16+84=100>0.
x1 = 3, x2 = -7.
Відповідь: x1 = 3, x2 = -7.
Приклад 4
Квадратні рівняння в Індії.
Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в 499г. У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні важких завдань. У одній із старовинних індійських книг мовиться з приводу таких змагань наступне:
“Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу іншого в народних зібраннях, пропонуючи і розв’язуючи завдання алгебри”.
Одне із завдань знаменитого індійського математика XIIст. Бхаськари:
Розв’язування Бхаськари свідчить про те, що він знав про двозначність кореня квадратних рівнянь.
Зведене квадратне рівняння. Теорема Вієта
| Зведене квадратне рівняння: x2 + px + q =0 |
| Дискримінант: D = p2 – 4q. |
Теорема Вієта :Якщо зведене квадратне рівняння x2 + px + q =0 має два корені, то їх сума дорівнює коефіцієнту p рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену q: x1+x2=- p; x1  x2=q, де x1,x2 - розв'язки рівняння x2 + px + q =0
|
Теорема Вієта для квадратного рівняння загального вигляду: x1 + x2 = -  ; x 1 x 2 = 
|
| Обернена теорема Вієта: Якщо числа x1 і x2 такі, що x1+x2= - p; x1 x2=q, то ці числа – корені рівняння x2 + px + q =0
|
Біквадратні рівняння
|
|
|
| Біквадратне рівняння: ax4 + bx2 + c = 0 | ||
| Алгоритм розв’язування | ||
| 1. | Зробити заміну змінної: | x2 = t |
| 2. | Вийде: | аt2 + bt + с = 0 |
| 3. | Знайти корені квадратного рівняння: | t1,2 = … |
| 4. | обернена підстановка: | 
|
| 5. | Якщо t < 0 Якщо t > 0 Якщо t = 0 | Коренів немає x =  x = 0
|
| Таким чином, біквадратне рівняння може мати від 0 до 4 розв’язків. | ||
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 26; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!