Температурное поле в стержне при нестационарном нагревании
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Температурное поле в перекрытии при нестационарном нагревании
Задача 5.1.
Рассчитать температурное поле в перекрытии через τ мин после начала нагревания. Установить время достижения на рабочей арматуре температуры 550оС.
Перекрытие представляет собой сплошную железобетонную плиту толщиной 18 см. Толщина слоя бетона от нижней грани до центра тяжести рабочей арматуры 2 см. Коэффициенты теплопроводности железобетона λ = 1,2 Вт/м·К, температуропроводности а= 5,6·10-7 м2/с. Перекрытие подвергается одностороннему нагреванию в условиях пожара. Температура греющей среды изменяется во времени по закону t Г = Alg (8τ+1) (здесь время τ измеряется в минутах).
Начальная температура перекрытия 20оС, такую же температуру имеет воздух над перекрытием.
Задачу решить графически методом конечных разностей. Исходные данные для расчетов выбрать из таблицы.
| Последняя цифра шифра | 8 |
| А | 390 |
| Предпоследняя цифра шифра | 8 |
| τ, мин | 30 |
Решение
Все расчеты – в системе СИ.
1. Максимальная температура греющей среды под перекрытием
2. Максимальное значение коэффициента теплоотдачи на поверхности плиты со стороны пожара
3. Максимальная толщина расчетного слоя
Для расчетов принимаем
Количество слоев, на которые разбивается перекрытие
|
|
|
4. Расчетный интервал времени
5. Температуры греющей среды для моментов времени, по заданному уравнению,
6. Коэффициент теплоотдачи на поверхности плиты со стороны пожара для моментов времени, по записанному выше уравнению,
7. Абсцисса направляющей точки для моментов времени
8. Делим плиту на 9 расчетных слоев, по 2 см каждый. Проводим в каждом слое осевые линии. Кроме того, проводим осевые линии слева и справа за границами плиты на расстояниях 1 см от ее поверхностей. Нумеруем осевые линии слева направо N, I, II, III, …, M (оси N и M проходят вне плиты).
По оси ординат откладывается температура t в оС. По оси абсцисс – расстояние х в см. Начало координат – на левой границе плиты (со стороны пожара).
9. Для каждого момента времени фиксируем на рисунках в координатах х=-λ/α1 (абсцисса), t (ордината) положение направляющей точки В.
10. Основой для графического расчета является разностная формула
где 
– температура в расчетном (i-ом) координатном слое по пространству (координата х), для следующего расчетного момента времени τ+∆τ; 
– температура в пространственном слое, предыдущем расчетному, для предыдущего момента времени τ; 
– температура в пространственном слое, последующем за расчетным, для предыдущего момента времени τ.
|
|
|
Значения и известны из ранее выполненных расчетов, или даны по условию.
Рассчитываем графически температурные поля в плите для моментов времени: τ = 0, 6, 12, 18, 24, 30 мин.
Для этого (в момент времени 6 мин, например):
а) изображаем начальное температурное поле при τ = 0: t = const = 20оС.
б) соединяем отрезками прямой значения температуры на осевой линии N со значением ее на осевой II. На пересечении этого отрезка с осевой I получаем значение температуры для следующего момента времени.
Далее, то же самое – для отрезка между осевыми I и III. Так получаем следующее по времени значение температуры на осевой II.
И аналогично – для всех осевых линий, до правой поверхности плиты, где нет пожара.
Завершаем расчет определением температуры на осевой N. Для этого отрезком соединяем температуру на осевой I и направляющую точку В, расположенную слева от плиты (со стороны пожара).
Т.о., получаем ломаную линию, приближенно описывающую распределение температур в плите в следующий, после начального, момент времени.
Основой расчета для этого момента времени является начальный.
Совершенно аналогично определяем поле температур для всех расчетных моментов времени. Основой расчета следующего момента времени является предыдущий.
|
|
|
В момент времени τ = 0.
| х, см | t, оС |
| -1 | 20 |
| 1 | 20 |
| 3 | 20 |
| 5 | 20 |
| 7 | 20 |
| 9 | 20 |
| 11 | 20 |
| 13 | 20 |
| 15 | 20 |
| 17 | 20 |
| 19 | 20 |
| I |
| M |
| N |
| τ = 0 |
В момент времени τ = 6 мин (в таблице выделены координаты точки В).
| х, см | t, оС |
| -2,27 | 659 |
| -1 | 411 |
| 1 | 20 |
| 3 | 20 |
| 5 | 20 |
| 7 | 20 |
| 9 | 20 |
| 11 | 20 |
| 13 | 20 |
| 15 | 20 |
| 17 | 20 |
| 19 | 20 |
| M |
| II |
| I |
| N |
| В |
| τ = 6 мин |
В момент времени τ =12 мин (в таблице выделены координаты точки В).
| х, см | t, оС |
| -1,74 | 775 |
| -1 | 624 |
| 1 | 215 |
| 3 | 20 |
| 5 | 20 |
| 7 | 20 |
| 9 | 20 |
| 11 | 20 |
| 13 | 20 |
| 15 | 20 |
| 17 | 20 |
| 19 | 20 |
| M |
| III |
| II |
| I |
| N |
| В |
| τ = 12 мин |
|
|
|
В момент времени τ =18 мин (в таблице выделены координаты точки В).
| х, см | t, оС |
| -1,49 | 843 |
| -1 | 740 |
| 1 | 322 |
| 3 | 118 |
| 5 | 20 |
| 7 | 20 |
| 9 | 20 |
| 11 | 20 |
| 13 | 20 |
| 15 | 20 |
| 17 | 20 |
| 19 | 20 |
| M |
| IV |
| III |
| II |
| I |
| N |
| В |
| τ = 18 мин |
В момент времени τ =24 мин (в таблице выделены координаты точки В).
| х, см | t, оС |
| -1,33 | 891 |
| -1 | 826 |
| 1 | 429 |
| 3 | 171 |
| 5 | 69 |
| 7 | 20 |
| 9 | 20 |
| 11 | 20 |
| 13 | 20 |
| 15 | 20 |
| 17 | 20 |
| 19 | 20 |
| M |
| V |
| IV |
| III |
| II |
| I |
| N |
| В |
| τ = 24 мин |
В заданный конечный момент времени τ = 30 мин (в таблице выделены координаты точки В).
| х, см | t, оС |
| -1,22 | 929 |
| -1 | 886 |
| 1 | 498 |
| 3 | 249 |
| 5 | 95 |
| 7 | 44 |
| 9 | 20 |
| 11 | 20 |
| 13 | 20 |
| 15 | 20 |
| 17 | 20 |
| 19 | 20 |
| VI |
| V |
| IV |
| III |
| II |
| M |
| I |
| N |
| В |
| τ = 30 мин |
Из графика при τ = 30 мин видно, что повышение температуры из-за пожара еще не дошло до правой стороны плиты, где нет пожара. Поэтому учитывать при расчете коэффициент теплоотдачи со стороны наружного воздуха α2 не нужно.
Координата центра тяжести рабочей арматуры х = 2 см. Температуры в этой точке: t(τ = 30 мин) = 370оС, t(τ = 24 мин) = 300оС.
Тогда искомое время достижения на рабочей арматуре температуры 550оС, по методу линейной экстраполяции,
Ответ: 
Температурное поле в стержне при нестационарном нагревании
Задача 5.2.
Длинный металлический вал диаметром d, который имел температуру
t 0 = 20оС, был помещен в печь с температурой t Ж = 820оС.
Определить температуры на оси, на поверхности вала и на расстоянии
r = br0 от оси вала через τ мин после начала нагревания. Коэффициент теплоотдачи на поверхности вала α = 140 Вт/м2·К. Диаметр вала, материал и коэффициент b приведены в таблице.
| Последняя цифра шифра | 8 |
| Диаметр вала, мм | 120 |
| b | 0,9 |
| Материал вала | Чугун |
| Предпоследняя цифра шифра | 8 |
| Время нагрева, мин | 45 |
Решение
Все расчеты – в системе СИ.
1. Из табл.XI Приложения:
коэффициент теплопроводности чугуна λ = 52 Вт/м·К;
коэффициент температуропроводности чугуна
2. Заданное время нагрева в секундах
Радиус вала
Тогда число Фурье (безразмерное время)
3. Число Био
4. Безразмерная температура, по определению,
Безразмерная температура на оси вала (с помощью номограммы)
Тогда искомая температура на оси
Безразмерная температура на поверхности вала (с помощью номограммы)
Тогда искомая температура на поверхности
5. Поскольку 
, в бесконечном функциональном ряду, дающем решение задачи для любых радиус-координаты и момента времени, можно ограничиться только первым членом.
Значение первого собственного числа задачи, соответствующего вычисленному в п.3 числу Био, находим из табл.VIII Приложения. В ней даны: µ1(Bi=0,1)=0,4417; µ1(Bi=0,2)=0,6170. Тогда, по методу линейной интерполяции,
Безразмерная температура, в зависимости от радиус-координаты и времени,
где 
– функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.
Необходимо найти
Значения функций Бесселя находим по табл.Х Приложения. Там дано:
Тогда, по методу линейной интерполяции,
Подставляя все в уравнение для безразмерной температуры, записанное выше, получим
Тогда искомая температура на расстоянии r=br0 от оси вала
Ответ: 
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 33; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!