Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами

Стр 1 из 2Следующая ⇒

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»

(ФГБОУ ВО «ЧГУ им.И.Н. Ульянова»)

Факультет Радиоэлектроники и автоматики

Кафедра Радиотехники и радиотехнических систем

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине:

“ Компьютерные методы расчета радиоэлектронных цепей ”

На тему

« Численные методы расчёта в радиоэлектронике »

Вариант 3

Выполнил: ст. гр. ЗРЭА-21-17п

Проверил: Григорьев А. В.

Чебоксары – 2021г.

Содержание

Задание на курсовой проект………………………………….….……3

Задание 1 Решение нелинейных уравнений…………………………4

Задание 2 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами …………………………………………..10

Задание 3 Приближение функций………….………………………..19

Задание 4 Численное решение задачи Коши……………………......25

Список литературы …..………………………………………………35

Факультет РЭА

Кафедра РРС

З А Д А Н И Е

На курсовой проект

По дисциплине Компьютерные методы расчета радиоэлектронных цепей Студент гр. ЗРЭА-21-17п

ФИО:

Руководитель: Григорьев А. В.

Тема работы: Численные методы расчёта в радиоэлектронике

Вариант: 3

Исходные данные:

1.Структура записи:

- Задание на проект

- Решение проекта

2. Среда выполнения вычислений MatCad

Задание:

1. Решение нелинейных уравнений

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.

3. Приближение функций.

4. Численное решение задачи Коши.

Дата выдачи «_____» ______________ 20__г.

Дата сдачи на проверку «_____»_______________ 20__г.

Дата защиты «_____»_______________ 20__г.

Подпись руководителя__________________________

Задание 1

Решение нелинейных уравнений

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы – освоение принципов практического применения численных методов решения нелинейных уравнений. В работе рассматриваются методы бисекции и Ньютона.

Задание

Задача 1.

Варианты заданий представлены в таблице 1. Даны два уравнения f ( x )=0 и g ( x )=0. Найти с точностью все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a , b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью встроенной функции root пакета MATHCAD и сравнить полученные с помощью метода бисекции результаты.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

1. Найти аналитическое решение уравнения f ( x )=0.

2. Используя пакет MATHCAD, локализовать корни f ( x )=0 графически.

3. Используя программу bisec (см. ПРИЛОЖЕНИЕ А), найти корни уравнения f ( x )=0 с точностью с помощью метода бисекции.

4. Используя встроенную функцию root пакета MATHCAD, найти корни уравнения f ( x )=0 с точностью (см. ПРИЛОЖЕНИЕ А).

5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g ( x )=0. Объяснить полученные результаты.

N	f ( x )	g ( x )	[a , b]
1.3

2. Проведем локализацию корней, построив график заданной функции на интервале [-0.5,0. 5]:

Из графика видим, что первый корень лежит [-0.5, -1,17]

второй корень [0.2, 0.5]

1. Зададим функцию, реализующую метод бисекции:

2. Найдем первый корень:

Функция bisec выводит значение корня и число итераций.

Решим уравнение встроенной функцией root :

4. Аналогично находим второй корень:

Задача 2.

Варианты заданий представлены в таблице 2.Требуется найти ближайший к точке x =0 корень уравнения с точностью используя метод Ньютона. Фрагмент решения задачи представлен в ПРИЛОЖЕНИИ Б.

Порядок решения задачи.

1. Используя пакет MATHCAD, построить график функции , выбрать начальное приближение для метода Ньютона.

2. Используя программу Newton (см. ПРИЛОЖЕНИЕ Б), найти корень уравнения с точностью .

3. Сравнить результат со встроенной в MATHCAD функцией root .

4. Если корень кратный, использовать модификацию метода Ньютона (программа Newton _ mod ) для случая кратного корня (см. ПРИЛОЖЕНИЕ В). По минимуму числа итераций при значениях m=1,2,3,4,5 определить кратность корня.

5. Аналогично п.4, использовать модификацию метода Ньютона (программа Newton _ mod , ПРИЛОЖЕНИЕ В), и найти корень функции из задачи №1. (начальное приближение для модифицированного метода Ньютона выбирается по графику ). По минимуму числа итераций при значениях m=1,2,3,4,5 определить кратность корня.

N	f(x)
2.3

1. Построим график функции в окрестности точки x=0:

2. Зададим функцию, реализующую метод Ньютона:

3. Найдем корень уравнения:

ЗАДАНИЕ № 2

Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы – освоение принципов практического применения итерационных методов решения СЛАУ. В работе рассматриваются методы простой итерации (Якоби) и Зейделя

Задание

Задача 1.

Дана система уравнений Ax = b . Найти решение системы с помощью метода Гаусса. Выполнить 10 итераций по методу простой итерации (методу Якоби). Принимая решение, полученное с помощью метода Гаусса, за точное, найти величину абсолютной погрешности итерационного решения. Варианты заданий даны в таблице 1.

Порядок решения задачи.

1. Задать матрицу A и вектор правой части b по приведенной в таблице 1 формуле. Используя встроенную функцию lsolve пакета MATHCAD, найти решение системы Ax = b методом Гаусса.

2. Преобразовать систему Ax = b к виду, удобному для итераций: . Проверить выполнение достаточного условия сходимости итерационных методов .

3. Используя функцию simple _ iter (см. ПРИЛОЖЕНИЕ А), выполнить 10 итераций по методу Якоби. Взять любое начальное приближение. Принимая решение, полученное в п.1, за точное, найти величину абсолютной погрешности итерационного решения. (Использовать норму ).

4. Выполнить п.3 еще раз для другого начального приближения, близкого к решению по методу Гаусса. Сравнить абсолютные погрешности.

Элементы матрицы A задаются формулами: , параметр задается формулой : , здесь – номер варианта, - размерность матрицы, указанная в варианте. Вектор b задан в индивидуальном варианте.

Таблица 1 Варианты заданий к задаче 1

N	b	m
1.3	-0.835469 -0.672005 -0.179749 0.144347	4

Задача 2.

Дана та же СЛАУ, что и в задаче 1. Найти решение СЛАУ по методу Зейделя с точностью , взяв любое начальное приближение. Предусмотреть подсчет количества итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности .

Порядок решения задачи

1. Использовать программу для решения задачи 1 или задать заново матрицу А, вектор b .

2. Используя матрицу B , найденную при решении задачи 1, сформировать нижнюю треугольную матрицу и верхнюю треугольную матрицу . Проверить выполнение достаточного условия сходимости метода Зейделя: . Вектор столбец с также использовать из задачи 1.

3. Используя функцию zeid (см. ПРИЛОЖЕНИЕ Б) найти решение СЛАУ с заданной точностью.

4. Повторить п.3 для другого начального приближения, близкого к решению по методу Гаусса. Сравнить количество итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности.

Задание № 3

Приближение функций

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы – практическое применение метода наименьших квадратов для приближения функции, построение многочленов Лагранжа и Ньютона для интерполяции функций.

Задание

Задача 1.

Функция y = f ( x ) задана таблицей значений в точках . Используя метод наименьших квадратов (МНК), найти многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения оптимальной степени m = m *. За оптимальное значение m * принять ту степень многочлена, начиная с которой величина

стабилизируется или начинает возрастать.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Задать векторы x и y исходных данных.

2. Используя функцию mnk, найти многочлены P_m, m=0,1,…,n-1 по методу наименьших квадратов. Вычислить соответствующие им значения .

3. Построить график зависимости от m , на основании которого выбрать оптимальную степень m* многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения.

4. На одном чертеже построить графики многочленов P_m, m=0,1,..., m*, и точечный график исходной функции.

Задание № 4

Дата добавления: 2022-11-11; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!