Часть 2. Функциональные последовательности и ряды
Вопросы к экзамену по обыкновенным дифференциальным уравнениям
(Лектор Иванова ТМ, осен.сем. 2021/22 уч.года)
Для групп Б20-201,202,203,204,205,211,215,301,302,312, С20-201
Часть 1. ОДУ и элементы вариационного исчисления.
1. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям (ОДУ) Общее и частное решения, общий и частный интегралы, интегральные кривые.
2. Задача Коши, ее геометрический смысл. Формулировка теоремы сущестования
и единственности (ТСЕ) решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной.
3. Интегрирование ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и однородных ОДУ. Уравнения, сводящиеся к однородным.
4. Интегрирование линейных ОДУ первого порядка и уравнений Бернулли. Уравнение Риккати.
5. Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
6. Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной. Задачи Коши для него. ТСЕ решения задачи Коши для ОДУ 1–го порядка, не разрешенного относительно производной.
7. Метод введения параметра. Общие принципы. Частные случаи.
8. Особое решение. Огибающая. Р-дискриминантное множество С-дискриминантное множество.
9. Интегрирование ОДУ первого порядка Лагранжа и Клеро.
10. ОДУ высших порядков. Основные понятия. Задача Коши. Формулировка ТСЕ.
|
|
|
11. Простейшие ОДУ высших порядков, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка.
12. Нормальная система линейных ОДУ (СЛОДУ). Основные понятия . Координатная и векторная форма записи. Задача Коши для нормальной СЛОДУ, ее геометрический
смысл, формулировка ТСЕ.
13. Линейно зависимые (ЛЗ) и линейно независимые (ЛНЗ) системы вектор–функций.
14. Свойства решений однородной СЛОДУ (о тривиальном решении, линейность,
о нулях решения, о ЛЗ)
15. Фундаментальная система решений (ФСР) нормальной ОСЛОДУ, ее существование. Структура общего решения нормальной ОСЛОДУ.
16. Фундаментальная матрица решений. Определитель Вронского. Их свойства
(необх. усл. ЛЗ, о нуле, об общем решении, о решении ЗК). Формула Лиувилля.
17. Построение нормальной СЛОДУ по заданной ФСР.
18. Структура общего решения нормальной неоднородной СЛОДУ.
19. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений
неоднородных СЛОДУ.
20. Построение ФСР нормальной ОСЛОДУ с постоянными коэффициентами. Случай простых вещественных корней.
21. Построение ФСР нормальной ОСЛОДУ с постоянными коэффициентами. Случай простых корней, среди которых есть комплексные.
|
|
|
22. Принципы построеня ФСР нормальной ОСЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае кратных корней.
23. Метод неопределенных коэффициентов для отыскания частных решений СЛОДУ с неоднородностью специального вида.
24. Линейное ОДУ высокого порядка (ЛОДУ). Cведение линейного ОДУ к нормальной СЛОДУ. Задача Коши. Формулировка ТСЕ решения ЗК.
25. ЛЗ и ЛНЗ системы функций.
26. Свойства решений однородного ЛОДУ (о трив. решении, линейность, о ЛЗ, о
ЛНЗ).
27. ФСР и структура общего решения однородного ЛОДУ.
28. Определитель Вронского решений однородного ЛОДУ. Его свойства. Формула
Лиувилля. Построение ЛОДУ по системе решений.
29. Структура общего решения неоднородного ЛОДУ.
30. Метод вариации произвольной постоянной для отыскания частных решений
неоднородного ЛОДУ.
31. Построение ФСР однородного ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Случай
простых корней характеристического уравнения.
32. Построение действительной ФСР однородного ЛОДУ с постоянными веще-
ственными коэффициентами в случае простых корней, среди которых есть комплексные.
33. Дифференциальное тождество. Построение ФСР однородного ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения.
|
|
|
34. Метод неопределенных коэффициентов. Отыскание частных решений для неоднородных ЛОДУ со специальной правой частью. Нерезонансный случай.
35. Метод неопределенных коэффициентов. Отыскание частных решений для неоднородных ЛОДУ со специальной правой частью. Резонансный случай.
36. Доказательство ТСЕ решения задачи Коши для ОДУ 1–го порядка, разрешенного относительно призводной. (Существование решения)
37. Доказательство ТСЕ решения задачи Коши для ОДУ 1–го порядка, разрешенного относительно призводной. (Лемма Гронуолла, единственность решения)
38. Элементы вариационного исчисления. Основные понятия (слабая\сильная окрестность, функционал, его дифференцируемость слабый\сильный экстремум, вариация кривой и пр.) Необходимое условие экстремума дифференцируемого функцианала.
39. Простейшая задача вариационного исчисления. Основная лемма вариационного исчисления.
Необходимое условие экстремума функционала с закрепленными концами. Краевая задача Эйлера. Экстремали.
40. Важные частные случаи интегрируемости и понижения порядка уравнения Эйлера.
|
|
|
40. Обобщение простейшей задачи вариационного исчисления. Краевая задача Эйлера-Пуассона. Система уравнений Эйлера.
41. Условный экстремум с неголономной связью. Необходимое условие экстремума. Изопериметрическая задача. Задача Дидоны.
42. Условный экстремум с голономной связью. Необходимое условие экстремума. Геодезические линии. ГЛ на поверхности цилиндра.
43. Задача с подвижной границей. Необходимое условие экстремума. Условие трансверсальности. Задача о кратчайшем расстоянии между кривыми на плоскости.
Часть 2. Функциональные последовательности и ряды
См. файл АП Горячева
Дата добавления: 2022-11-11; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!