Задание: Решить примеры 1-4 (для самопроверки решение см. в конце лекции)
Тема: Основы теории вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины.
Теория вероятностей – ЭТО РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ, ИЗУЧАЮЩИЙ ЗАКОНОМЕРНОСТИ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ.
Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений.
Понятие о событии. Виды событий.
Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Результат испытания называется событием (обозначают большими буквами латинского алфавита).
Примеры.
1) В ящике имеются цветные шары. Из ящика наудачу берут 1 шар. Извлечение шара из ящика есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.
2) Сдача экзамена - это испытание; получение определенной отметки - событие. Выстрел в мишень - это испытание; попадание в мишень – событие, промах – событие.
3) Бросание игрального кубика - это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - событие.
Виды событий: достоверные, невозможные и случайные.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.
Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием.
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Примеры.
1) Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог и не сдать экзамен.
2) Попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.
Каждый из возможных результатов испытания называется исходом . Те исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.
Классическое определение вероятности случайного события
Вероятностью некоторого случайного события называется отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов испытания. Вероятность P(A) события А определяется по формуле
P(А) = 
, где m – число исходов, благоприятствующих A;
n – число всех возможных исходов испытания.
Свойства вероятности
Свойство 1
Вероятность случайного события есть неотрицательное число, такое, что 0 ≤ P(А) ≤ 1
Свойство 2
Вероятность достоверного события равна единице: P(В) =1
Свойство 3
Вероятность невозможного события равна нулю: P(С) = 0
Классическое определение, как правило, оценивает вероятность ДО проведения испытаний и даже без их фактического проведения. То есть, монета ещё не подброшена, а вероятность появления орла мы уже прекрасно знаем.
Примеры решений задач на классическую вероятность
Найти основной вопрос задачи : "вычислить вероятность того, что ..." .
это многоточие - событие, вероятность которого надо найти.
Задача . Лабораторная крыса помещена в лабиринт, в котором лишь один из четырех возможных путей ведет к поощрению в виде пищи. Определите вероятность выбора крысой такого пути.
Решение: по условию задачи из четырех равновозможных исходов (n=4) событию А (крыса находит пищу) благоприятствует только один, т. е. m = 1. Тогда: Р(А) = Р (крыса находит пищу) = 
= 
Задание: Решить примеры 1-4 (для самопроверки решение см. в конце лекции)
Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что шар будет белым.
Пример 2. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?
Пример 3. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Пример 4.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Случайная величина
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине.
Случайная величина - величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное числовое значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайную величину можно определить как функцию, которая каждому элементарному(простейшему) исходу ставит в соответствие вещественное число.
Примеры случайных величин: число больных на приеме у врача; точные размеры внутренних органов людей и т. д
Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами 
а их значения – прописными- 
.
Обозначение случайной величины: X
Обозначение значений случайной величины : 
Виды случайных величин:
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
1) Случайная величина называется дискретной, если она принимает только определенные, отделенные друг от друга значения, которые можно установить и перечислить.
Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измерений температуры в конкретные моменты времени.
Устные вопросы к группе :
является ли данная случайная величина дискретной?
- число студентов в аудитории — может быть только целым положительным числом: 0, 1, 2, 3, 4….. 20…..;
- цифра, которая появляется на верхней грани при бросании игральной кости, — может принимать лишь целые значения от 1 до 6;
- число попаданий при трех выстрелах;
- число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени: частота пульса, число вызовов скорой помощи за 1 час, количество операций в месяц с летальным исходом и т. д.
. (На все вопросы – положительный ответ. Т.к. Во всех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения)
2) Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения внутри определенного интервала.
Пример непрерывной случайной величины: запись показаний спидометра или измерений датчика температуры в течение конкретного интервала времени.
Устные вопросы к группе : является ли данная случайная величина непрерывной?
- масса тела и рост взрослых людей,
- масса тела и объем мозга,
- количественное содержание ферментов у здоровых людей,
- размеры форменных элементов крови, рН крови и т. п.
(на все вопросы – положительный ответ)
В теории вероятностей требуется предсказать возможное поведение случайной величины. В математической статистике наоборот, известны результаты (значения случайной величины). Требуется на основании этих данных построить подходящую вероятностную модель изучаемого явления, то есть приближённо оценить характеристики исследуемой случайной величины на основе экспериментальных данных. Это и является задачей математической статистики.
Дата добавления: 2022-07-02; просмотров: 139; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!