МАКЕт экзаменационнОГО билетА
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ (1 КУРС 2 СЕМЕСТР)
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
1. Функция двух переменных: определение, область определения, линии уровня, геометрическая интерпретация.
2. Определение предела функции двух переменных в точке. Основные свойства предела. Непрерывность функции двух переменных в точке.
3. Определение частных производных первого порядка функции двух переменных. Правило их вычисления.
4. Дифференцируемость функции двух переменных. Теоремы о связи дифференцируемости с непрерывностью и с существованием частных производных (с доказательством).
5. Вывод формул для вычисления частных производных 
сложной функции 
, где 
.
6. Вывод формулы для вычисления полной производной для функции , где 
.
7. Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных. Теорема об инвариантности его формы (с доказательством).
8. Вывод формулы для производной функции одной переменной, заданной неявно уравнением 
с помощью частных производных.
9. Вывод формул для нахождения частных производных функции двух переменных, заданной неявно уравнением 
.
10. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции . Свойство смешанных частных производных второго порядка для функции .
11. Аналитический признак полного дифференциала (с доказательством).
12. Определение производной по направлению для функции 
. Вывод формулы для ее вычисления.
|
|
|
13. Градиент функции и его свойства.
14. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое (с доказательством) и достаточное условия существования экстремума.
15. Определение условного экстремума. Нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа.
16. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
Интегральное исчисление функций нескольких переменных
1. Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, основные свойства .
2. Теорема о среднем значении двойного интеграла (с доказательством).
3. Вычисления двойного интеграла в декартовой системе координат. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному (с доказательством).
4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
5. Приложения двойного интеграла
6. Интеграл Эйлера – Пуассона (с доказательством).
7. Тройной интеграл: определение и основные свойства, приложения. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
8. Криволинейный интеграл по координатам: определение, физический смысл, основные свойства. Вычисление работы при перемещении материальной точки в силовом поле вдоль некоторого пути.
|
|
|
9. Вычисление криволинейного интеграла по координатам в 
.
10. Формула Грина для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру (с доказательством).
11. Теорема о независимости криволинейного интеграла по координатам от формы пути интегрирования: необходимое и достаточное условие (с доказательством).
12. Потенциальное поле, потенциальная функция и ее вычисление. Вычисление криволинейного интеграла, не зависящего от пути интегрирования.
13. Поверхностный интеграл второго рода. Поток вектора через поверхность.
14. Определение дивергенции векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса.
15. Определение ротора. Формула Стокса.
Образец билета
| Утверждаю Зав. кафедрой Рудаковская Е.Г. | РОССИЙСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Д.И.МЕНДЕЛЕЕВА КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ | ||
|
ВАРИАНТ 000 1. Определение производной по направлению. Вывод формулы для ее вычисления.
2. Двойной интеграл: определение, геометрический смысл.
3. Найти полную производную
4. Используя формулу Грина, вычислить
5. Вычислить криволинейный интеграл
| |||
, если 
, где 
.
, где А (0;0), В (1;1), С (2;0).
МАКЕт экзаменационнОГО билетА
| № вопроса | Содержание вопроса | Оценка в баллах |
| 1. | Теоретический вопрос из раздела дифференциальное исчисление функции многих переменных. | 4 |
| 2. | Теоретический вопрос из раздела интегральное исчисление функции многих переменных. | 4 |
| 3. | Задача из раздела дифференциальное исчисление функции многих переменных: - доказать, что функция удовлетворяет уравнению, - производная сложной функции, - дифференциал функции, заданной неявно, - производная по направлению, - градиент | 4 |
| 4. | Задача на вычисление двойного интеграла: - изменить порядок интегрирования, - вычислить в декартовых координатах, - вычислить в полярной системе координат, - по формуле Грина, - найти площадь. | 4 |
| 5. | Задача на вычисление криволинейного интеграла: - по кривым заданным явно . - по кривым заданным параметрически, - не зависящего от формы пути интегрирования, - найти работу, - найти площадь, - найти потенциальную функцию. | 4 |
Теоретические вопросы в билете: один с доказательством, другой без доказательства (в соответствии со списком вопросов). Все баллы после суммирования умножаются на 2 , что составит 40 баллов максимально.
|
|
|
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 28; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!