Основные понятия теории графов
Теория графов. Основные понятия и виды графов
Многое из нашей повседневной жизни можно смоделировать при помощи графов. Например, нарисовать для маршрута автобуса схему: отметить точками остановки, а линиями — куда едет автобус. Сейчас расскажем все про теорию графов.
О чем эта статья:
· Теория графов
· Основные понятия теории графов
· Путь и цепь в графе
· Визуализация графовых моделей
· Виды графов
· Ориентированные и неориентированные графы
· Эйлеров граф
· Регулярный граф
· Гамильтонов граф
· Взвешенный граф
· Графы-деревья
· Определение дерева
Теория графов
В переводе с греческого граф — «пишу», «описываю». В современном мире граф описывает отношения. И наоборот: любое отношение можно описать в виде графа.
Теория графов — обширный раздел дискретной математики, в котором системно изучают свойства графов.
Теория графов широко применяется в решении экономических и управленческих задач, в программировании, химии, конструировании и изучении электрических цепей, коммуникации, психологии, социологии, лингвистике и в других областях.
Для чего строят графы: чтобы отобразить отношения на множествах. По сути, графы помогают визуально представить всяческие сложные взаимодействия: аэропорты и рейсы между ними, разные отделы в компании, молекулы в веществе.
Давайте на примере.
Пусть множество A = {a1, a2, ... an} — это множество людей, и каждый элемент отображен в виде точки. Множество B = {b1, b2, ... bm} — множество связок (прямых, дуг или отрезков).
|
|
|
На множестве A зададим отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой.
Число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, некоторые могут вовсе не быть знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с какой другой). Так получился граф:
В данном случае точки — это вершины графа, а связки — рёбра графа.
Теория графов не учитывает конкретную природу множеств A и B. Существует большое количество разных задач, при решении которых можно временно забыть о содержании множеств и их элементов. Эта специфика не отражается на ходе решения задачи.
Например, вопрос в задаче стоит так: можно ли из точки A добраться до точки E, если двигаться только по соединяющим точки линиям. Когда задача решена, мы получаем решение, верное для любого содержания, которое можно смоделировать в виде графа.
Не удивительно, что теория графов — один из самых востребованных инструментов при создании искусственного интеллекта: ведь искусственный интеллект может обсудить с человеком вопросы отношений, географии или музыки, решения различных задач.
|
|
|
Графом называется система объектов произвольной природы (вершин) и связок (ребер), соединяющих некоторые пары этих объектов.
Пусть V — (непустое) множество вершин, элементы v ∈ V — вершины. Граф G = G(V) с множеством вершин V есть некоторое семейство пар вида: e = (a, b), где a, b ∈ V, указывающих, какие вершины остаются соединёнными. Каждая пара e = (a, b) — ребро графа. Множество U — множество ребер e графа. Вершины a и b — концевые точки ребра e.
Широкое применение теории графов в компьютерных науках и информационных технологиях можно объяснить понятием графа как структуры данных. В компьютерных науках и информационных технологиях граф можно описать, как нелинейную структуру данных.
Линейные структуры данных особенны тем, что связывают элементы отношениями по типу «простого соседства». Линейными структурами данных можно назвать массивы, таблицы, списки, очереди, стеки, строки. В нелинейных структурах данных элементы располагаются на различных уровнях иерархии и подразделяются на три вида: исходные, порожденные и подобные.
Основные понятия теории графов
Граф — это геометрическая фигура, которая состоит из точек и линий, которые их соединяют. Точки называют вершинами графа, а линии — ребрами.
|
|
|
- Два ребра называются смежными, если у них есть общая вершина.
- Два ребра называются кратными, если они соединяют одну и ту же пару вершин.
- Ребро называется петлей, если его концы совпадают.
- Степенью вершины называют количество ребер, для которых она является концевой (при этом петли считают дважды).
- Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра.
- Вершина называется висячей, если из неё выходит ровно одно ребро.
- Граф без кратных ребер и петель называется обыкновенным.
Путь и цепь в графе
Путем или цепью в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.
Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают.
Путь или цикл называют простым, если ребра в нем не повторяются.
Если в графе любые две вершины соединены путем, то такой граф называется связным.
Можно рассмотреть такое подмножество вершин графа, что каждые две вершины этого подмножества соединены путем, а никакая другая вершина не соединена ни с какой вершиной этого подмножества.
|
|
|
Каждое такое подмножество, вместе со всеми ребрами исходного графа, соединяющими вершины этого подмножества, называется компонентой связности.
Один и тот же граф можно нарисовать разными способами. Вот, например, два изображения одного и того же графа, которые различаются кривизной:
Два графа называются изоморфными, если у них поровну вершин. При этом вершины каждого графа можно занумеровать числами так, чтобы вершины первого графа были соединены ребром тогда и только тогда, когда соединены ребром соответствующие занумерованные теми же числами вершины второго графа.
Граф H, множество вершин V’ которого является подмножеством вершин V данного графа G и множество рёбер которого является подмножеством рёбер графа G соединяющими вершины из V’ называется подграфом графа G.
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 34; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!