Дробно-рациональные уравнения
| Отметка | «зачёт» | «4» | «5» |
| Обязательная часть | 4 балла | 4 балла | 4 балла |
| Дополнительная часть | 8 балла | 12 баллов |
Обязательная часть
1. Решите уравнение 
.
2. Решите уравнение 
.
3. Решите уравнение 
.
4. Решите уравнение 
.
Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.
Напомним, что рациональные уравнения – это уравнения, у которых левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.
Очень часто решение задач сводится к решению дробных рациональных уравнений. Решим несколько задач, которые сводятся к решению таких уравнений.
Задача 1. Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь.
Решение: обозначим за хзнаменатель дроби. Тогдах (х-3) – числитель этой дроби. Значит, исходная дробь имеет вид ххх-3х. Так как по условию задачи сумма дробиххх-3хи обратной ей дробихххх-3 в 7,25 раза больше исходной дроби, то можем составить уравнение:
x-3x+xx-3=7,25x-3x
Представим 7,25 в виде неправильной дроби:
x-3x+xx-3=29(x-3)4x
Умножим обе части уравнения на 4x(x-3) при x≠0, x≠3, чтобы избавиться от знаменателей:
4x-3x-3+4x2=29(x-3)(x-3)
4x2-24x+36+4x2=29x2-174x+261
21x2-150x+225=0
D=(-150)2-4∙21∙225=3600
D=60
x1=--150-602∙21=9042=157 не соответствует условию задачи.
|
|
|
x2=--150+602∙21=21042=5
Значит, 5 – знаменатель, 5-3 = 2 – числитель.
Ответ: 25 – исходная дробь.
Задача 2. Велосипедисту надо проехать 30 км. Он выехал на полчаса позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 2 км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?
Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста. Тогда расстояние в 30 км велосипедист проедет за х30х часов. Если бы велосипедист выехал вовремя, то его скорость была бы равнах (х-2) км/ч. И тогда расстояние в 30 км он проехал бы за х30х-2 часов. По условию задачи, велосипедист выехал на 30 минут позже намеченного срока, или, что тоже самое, на 3060=12 часа позже. Составим уравнение:
30x-2-30x=12
Умножим обе части уравнения на 2x(x-2) при x≠0, x≠2, чтобы избавиться от знаменателей:
30∙2x-30∙2x-2=x(x-2)
60x-60x+120=x2-2x
x2-2x-120=0
D=(-2)2-4∙1∙-120=4+480=484
D=484=22
x1=--2-222=-10 не соответствует условию задачи.
x2=--2+222=12
Ответ: 12 км/ч.
Задача 3. Лодка прошла вниз по реке 42 км, а затем 27 км против течения, затратив на весь путь 15 часов. Найти скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.
Пусть х (км/ч) – скорость течения реки. Тогдах (5+х) км/ч скорость моторной лодки по течению реки их (5-х) км/ч скорость моторной лодки против течения. Известно, что моторная лодка прошла по течению реки 42 км, а значит, затратила на это расстояние х425+х часов. Затем против течения лодка прошла 27 км, затратив на это расстояние х275-х часов. По условию известно, что на весь путь моторная лодка затратила 15 часов. Составим уравнение:
|
|
|
425+x+275-x=15
Умножим обе части уравнения на (5+x)(5-x) при x≠-5, x≠5, чтобы избавиться от знаменателей:
425-x+275+x=15(5+x)(5-x)
210-42x+135+27x=375-15x2
5x2-5x-10=0
x2-x-2=0
По теореме Виета
x1+x2=1x1∙x2=-2
Следовательно, x1=-1; x2=2.
Ответ: 2 км/ч
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!