В криволинейные силовые линии - центробежный дрейф

Лекция ДО_3

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ В РАМКАХ ДРЕЙФОВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Продолжаемрассмотрение движения частиц в стационарных электромагнитных конфигурациях с неоднородным магнитным полем.

Для завершения анализа ситуации 2б (ÑB ǁB) остановимся на изменении таких важных характеристик движения частицы, как продольная проекция скорости и циклотронный радиус. Я просил Вас проанализировать эти вопросы самостоятельно. Надеюсь, что большинство студентов по крайней мере попыталось это сделать…

Начнем с циклотронного радиуса. Радиус ларморовской окружности (его обозначают обычно через или R_c)можно рассчитать по простой формуле

(1)

где v_^ - проекция скорости, перпендикулярная вектору индукции магнитного поля.

Представим, что частица движется в направлении увеличения индукции магнитного поля, т.е. вектора grad B и В направлены в одну сторону. Казалось бы, что при увеличении индукции циклотронный радиус должен уменьшаться обратно величине В. Однако, как это было показано в конце предыдущей лекции, в такой магнитной конфигурации величина перпендикулярной В составляющей скорости и индукция магнитного поля связаны соотношением

(2)

откуда следует, что одновременно с увеличением В будет возрастать и v_^, что должно привести к увеличению R_c. Таким образом, влияния индукции на величину циклотронного радиуса будет более сложным.

Выражение (2) показывает, что, поскольку то и в результате в соответствии с формулой (1) циклотронный радиус все-таки уменьшается при возрастании величины индукции магнитного поля, но медленнее, чем обратно пропорционально В! Запомним эту закономерность, она нам пригодится позже при анализе удержания заряженных частиц в магнитных ловушках. Не забываем также, что циклотронные радиусы электронов и ионов при схожих условиях сильно отличаются по порядку величины!

Перейдем к анализу изменения продольной составляющей скорости v_ǁ при движении заряженной частицы в конфигурации с продольной составляющей градиента индукции магнитного поля grad B.

На прошлой лекции было показано, что магнитное поле не изменяет кинетической энергии частиц, оно может лишь отклонять вектор скорости частицы. Поэтому в нашей конфигурации 2б изменение величины перпендикулярной составляющей скорости v_^ (в рассматриваемом случае – ее возрастание) должно привести к такому изменению продольной составляющей скорости частицы v_ǁ (в рассматриваемом случае – к ее уменьшению), чтобы полная кинетическая энергии осталась прежней.

Отсюда следует, что движение заряженной частицы в направлении, коллинеарном вектору индукции магнитного поля, в общем случае не является свободным – скорость v_ǁ при движении частицы изменяется! Поэтому при разложении полной скорости частицы на три составляющих в дрейфовом приближении термин «свободное» движение частицы в направлении, коллинеарном вектору B, должен быть взят в кавычки. Иногда для этой проекции скорости еще используют термин «почти свободное движение в направлении…». Более того, действительно свободным движение заряженной частицы с v_ǁ= const может быть только для однородного магнитного поля с прямолинейными магнитными силовыми линями!

Перейдем к последнему варианту неоднородности магнитного поля, который связан с искривлением магнитных силовых линий (МСЛ).

в криволинейные силовые линии - центробежный дрейф

На рис. 1 представлена магнитная конфигурация, в которой МСЛ имеют кривизну, характеризующуюся некоторым радиусом R.

Рис. 1

В этом случае центробежная сила, действующая на частицу, определяется по известной формуле механики:

. (3)

Подставляя (3) в общее выражение для скорости дрейфа под действием силы F_^, получим формулу скорости центробежного дрейфа:

. (4)

Задание. Для магнитной конфигурации рис. 1 определите направления скоростей центробежного дрейфа электронов и ионов и соотношение модулей скоростей для этих частиц различных зарядов.

Кроме того, для всех рассмотренных выше случаев проверьте, пожалуйста, размерность скорости дрейфа в системе СИ – в формулах присутствуют как механические, так и электромагнитные величины.

Мы рассмотрели особенности движения заряженных частиц только для двух электромагнитных конфигураций. Однако этого оказывается достаточно для рассмотрения принципа удержания заряженных частиц в зеркальной магнитной ловушке Будкера – Поста (другое название - пробкотрон), устройство которой (рис. 2) было предложено независимо российским и американским учеными в 50-х годах прошлого столетия.

Рис. 2

На схеме ловушки показаны 2 катушки с током, отмеченные знаками «х» и «о» с соответствующим направлением тока в катушке, и магнитные силовые линии (еще раз напомню, что МСЛ – линии, в каждой точке которых вектор индукции магнитного поля В касателен к ним и в данном случае направлен справа налево). Обозначим величину индукции в плоскости симметрии (центральной плоскости) через В₀, а ее максимальное значение в плоскости катушки (эта область называется пробкой) – через В _m.

Рассмотрим движение типичной заряженной частицы, находящейся в начальный момент времени в центральной плоскости и вращающейся вокруг МСЛ по окружности радиусом R₀. Пусть вследствие теплового движения частица перемещается из области слабого поля В₀ в область, где оно сильнее, т.е. пытается покинуть ловушку.

Частица при этом «видит», что индукция магнитного поля вдоль МСЛ увеличивается, следовательно, чтобы величина магнитного момента µ оставалась постоянной, должна возрастать и перпендикулярная скорость v_^. Однако, поскольку суммарная кинетическая энергия остается постоянной, как мы выяснили ранее, соответственно должна уменьшиться продольная скорость v_ǁ. Если индукция магнитного поля в пробке достаточно велика, то v_ǁ в конечном счете обратится в нуль, и частица отразится и начнет перемещаться обратно к центральному сечению. К такому отражению приведет сила F_ǁ.

Таким образом, неоднородное магнитное поле, создаваемое парой катушек, образует два магнитных зеркала, между которыми можно запереть плазму. Она будет находиться внутри области, ограниченной красной линией (см. рис. 2).

Задание. Сравните удержание ионов и электронов в зеркальной магнитной ловушке Будкера – Поста. Одинаково хорошо будут удерживаться в ловушке частицы этих двух сортов или нет? Если есть какие-то различия в удержании, - поясните.

К сожалению, такая ловушка несовершенна. В ней существуют частицы не только с различными скоростями (помните, что оценивая необходимую для осуществления термоядерной реакции температуру, мы предполагали существование максвелловского распределения частиц по скоростям), но и с различными соотношениями v_^ / v_ǁ. В частности, частица с v_^ = 0 (т.е. µ = 0) вообще не почувствует никакой силы, действующей вдоль В. Кроме этого, если максимальное значение В _m недостаточно велико, из ловушки убегут и те частицы, у которых в центральной плоскости (В = В₀) мало отношение v_^ / v_ǁ.

Какие же частицы будут покидать ловушку при заданных величинах индукции В₀и В _m?

Рассмотрим частицу, которая в центральной плоскости ловушки имеет проекции v_^ = v_^₀ и v_ǁ = v_ǁ₀. В точке поворота она будет иметь некоторую и v_ǁ = 0. Если индукция магнитного поля в этой точке равна В’_,то из условия инвариантности µ следует

Из закона сохранения энергии следует

Отсюда

где θ – питч-угол орбиты в области слабого поля (рис. 3).

Рис. 3

Частицы с меньшими θ будут отражаться от областей с большими В. Если θ слишком мал, то В’ превышает В _m и частица вообще не отразится.

Заменяя в последнем уравнении В’ на В _m, увидим, что наименьший угол θ у захваченной (удерживаемой) частицы определяется равенством

(5)

где R_m – так называемое пробочное отношение.

Условие (5) определяет в пространстве скоростей границу области в виде конуса, называемого конусом потерь. Частицы, скорости которых лежат внутри конуса, не удерживаются магнитными пробками, поэтому плазма в такой ловушке неизотропна.

Характерные траектории заряженных частиц в конфигурации ловушки Будкера – Поста вы рассчитаете и проанализируете в лабораторной работе, которую вы проведете с С.В. Серушкиным через Webinar.

Еще раз подчеркнем, что полученные закономерности действуют только в дрейфовом приближении. Приведем условия применимости этого приближения еще раз с некоторыми математическими соотношениями.

Для этого необходимо выполнение следующих условий:

1. Условие замагниченности: w_сt >> 1.

2. Условие адиабатичности: электрическое и магнитное поля должны слабо меняться на циклотронном радиусе и за время оборота частицы по циклотронной окружности:

3. Характерные размеры плазменной системы должны быть существенно больше циклотронного радиуса.

Задание. Оцените циклотронные радиусы дейтона с температурой 10 кэВ при индукциях магнитного поля 0,01, 0,1 1 и 10 Тл. Сформулируйте заключение, какого порядка величины индукции необходимо создавать в зеркальной магнитной ловушке.

Прежде чем перейти к анализу других видов дрейфа, остановимся еще на устойчивости плазмы применительно к ловушке Будкера – Поста.

Качественная картина желобковой неустойчивости. Адиабатические ловушки с магнитными пробками представляют собой одну из систем для магнитного удержания термоядерной плазмы. Как мы знаем, индукция магнитного поля на торцах ловушки больше, чем в центре, и плазма удерживается в центральной области с ослабленным полем между двумя магнитными пробками.

Желобковая неустойчивость в открытой ловушке с пробочным полем является проявлением диамагнетизма плазмы. В такой ловушке магнитные силовые линии в области, занятой плазмой, выпуклы наружу, так что магнитное поле в этом направлении убывает. Диамагнитная жидкость стремится занять область слабого поля, так что случайное возмущение поверхности плазмы приводит к образованию вытянутых вдоль магнитных силовых линий «языков», в результате чего плазма вытекает наружу, к стенкам камеры. Между языками оказываются «желобки», от которых неустойчивость и получила свое название.

Микроскопическая картина неустойчивости состоит в следующем. На рис. 4 показано сечение плазменного цилиндра плоскостью, перпендикулярной магнитному полю В. Пусть сначала плазма азимутально симметрична и ее ось совпадает с осью системы. Из-за неоднородности В (градиент индукции магнитного поля в центральной части ловушки, заполненной плазмой, направлен к оси пробкотрона) ионы и электроны испытывают азимутальный градиентный дрейф в противоположных направлениях, однако благодаря азимутальной симметрии эти токи не приводят к разделению зарядов.

Предположим, что из плазмы с резкой границей вылез «язык» (рис. 4а). Из-за градиентного дрейфа на одной стороне языка будет происходить накопление ионов, на другой - электронов. Возникнет азимутальное электрическое поле Е, которое вызовет радиальный дрейф со скоростью с [ЕВ]/В², одинаковый для электронов и ионов, что приведет к дальнейшему росту языка. Обнаружив область с избытком ионов или электронов, для устранения этого явления достаточно ввести туда недостающие заряды извне или, напротив, вывести лишние заряды из плазмы. Не обязательно, чтобы вводимые извне заряды абсолютно точно компенсировали разделенные заряды плазмы в каждой точке пространства. Достаточно в среднем изменить направление поля в плазме.

При стабилизации с помощью системы автоматического регулирования с обратными связями существенно различие между поверхностными волнами, когда в отсутствие обратной связи заряды возникают только на поверхности плазменного цилиндра, и объемными модами, в которых возмущения заряда имеют место и в объеме плазмы.

Чтобы изменить знак электрического поля в плазме при возбуждении поверхностной волны, не обязательно вводить компенсирующие заряды в плазму - достаточно расположить их около плазмы на близлежащей стенке.

На рис. 4 представлена схематическая картина распределения зарядов, электрических полей и скоростей дрейфа в перпендикулярном магнитному полю сечении плазмы в открытой ловушке простой пробочной конфигурации при образовании языка:

а) без системы стабилизации, когда магнитное поле спадает по радиусу;

б) при наличии системы обратной связи из датчиков (Д), усилителей (К) и управляющих электродов (Э).

а)

б)

Рис. 4

При этом удобнее контролировать не плотность заряда на внешней поверхности, а распределение потенциала на ней. Управление этим распределением в соответствии с возмущениями полей в плазме и является задачей системы стабилизации поверхностных волн. Приложив разность потенциалов от внешнего источника, такую, что суммарное поле всех зарядов изменит свое направление (рис. 4б), можно подавить возмущение.

В заключение рассмотрения устойчивости плазмы в пробкотроне уточним термин «центральная часть ловушки», где развивается желобковая неустойчивость и вектор градиента индукции магнитного поля направлен к оси пробкотрона.

Оказывается, кривизна МСЛ однозначно связана с направлением указанного градиента. В центральной части ловушки МСЛ «выпуклы наружу» и вектор градиента индукции магнитного поля направлен к оси пробкотрона. При смещении к пробке МСЛ испытывают перегиб, становятся «выпуклыми внутрь ловушки», в результате чего возникающее в плазме электрическое поле приводит к подавлению возмущений и конфигурация становится устойчивой. Таким образом, граничное сечение, где меняется устойчивость, определяется точкой перегиба магнитных силовых линий.

Более подробно рассмотренная здесь и другие системы подавления желобковой неустойчивости будут рассмотрены в магистратуре в курсе «Управление плазменными установками». Модификации зеркальных магнитных ловушек, изучением которых в Российской Федерации в основном занимаются в Новосибирске в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения РАН, будут рассмотрены нами на последней лекции настоящего курса.

Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 31; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!