Вычисление пределов числовых последовательностей
Урок - лекция
Тема: Последовательности. Понятие о пределе последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
Цель: познакомиться с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией, с понятием предела последовательности, с теоремами для вычисления пределов.
Задание: изучить материал урока и выполнить самостоятельную работу.
Ход урока
Теоретический минимум
Числовая последовательность.
В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.
1. Определение арифметической прогрессии:
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
или 
Определение геометрической прогрессии.
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,
каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на
одно и то же число.
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Какие формулы вы еще знаете?
, где 
; 
;
; 
, 
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
|
|
|
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов 
образующих геометрическую прогрессию со знаменателем 
.
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .
|
|
|
Мы рассмотрели пример числовой последовательности. Введём определение числовой последовательности.
Определение 1 . Функцию y = f ( x ), x 
N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f ( n ) или y 1 , y 2 , y 3 , ..., yn , ... или ( yn ).
В данном случае независимая переменная – натуральное число.
Рассмотрим понятие предела последовательности
Предел последовательности
Определение .Число b называют пределом последовательности ( yn ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
В математике это обозначается так: yn 
b или так: 
.
Вычисление пределов числовых последовательностей
Теорема Если 
то
предел суммы равен сумме пределов: 
предел произведения равен произведению пределов: 
предел частного равен частному пределов: 
постоянный множитель можно вынести за знак предела: 
Рассмотрим на примере как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: 
|
|
|
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. 
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых. 
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна 
.
Если n неограниченно возрастает, то 
или 
. Поэтому 
, т.е. 
.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S 1 , S 2 , S 3 , …, Sn , … .
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле 
.
Закрепление нового материала
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 98; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!