Рассмотрим пример решения второй части задачи № 5.

Тема: Расчеты балок на прочность при прямом изгибе по нормальным и касательным напряжениям.

При чистом изгибе в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, которые вызывают нормальные напряжения. В случае поперечного изгиба в сечениях бруса возникает не только изгибающий момент М, но и поперечная сила Q.

Сила Q представляет собой равнодействующую элементарных сил, лежащих в плоскости сечения (рис 14.1) под действием которых в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные σ, но и касательные напряжения τ.

Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением угловых деформаций. Однако на величине нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила Q не меняется по длине бруса, то нормальные напряжения могут быть определены по уже известной формуле

Формула выведена для случая чистого изгиба, однако она дает совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при Q=const искривление всех сечений происходит одинаково

; ;

Выведем формулу для определения τ в простейшем случае изгиба балки прямоугольного поперечного сечения (впрочем, форма сечения не влияет на содержание формулы).

При этом сделаем следующие предположения:

а) направления касательных напряжений τ совпадают с направлением вызывающей их поперечной силы Q;

б) касательные напряжения τ, действующие по площадкам, расположенным на одном и том же расстоянии у от нейтральной оси, равны между собой.

Касательные напряжения

где Q – поперечная сила в сечении (либо дана, либо берём из эпюры для того сечения, для которого определяем напряжение τ);

– статический момент отсечённой части площади (отсечение выполняем на уровне точки, в которой определяется напряжение);

– момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси;

b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки.

Полученная формула (14.6) носит название формулы Журавского.

Методические указания к решению задач

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

При изгибе в поперечном сечении бруса, который в этом случае называется балкой, возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M_z.

Поперечной силой в сечении называется внутреннее усилие, численно равное алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, на нормаль к оси балки. Поперечная сила считается положительной, если она стремится вращать бесконечно малый элемент балки по ходу часовой стрелки. Обратное направление вращения соответствует отрицательной поперечной силе (рис. 15).

Рисунок 15 – Правило знаков для поперечной силы

Изгибающим моментом в сечении балки называется внутреннее усилие, численно равное алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно его центра тяжести. Изгибающий момент положителен, если под его воздействием балка изгибается выпуклостью вниз; при изгибе выпуклостью вверх изгибающий момент считается отрицательным (рис. 16). Эпюра изгибающего момента строится со стороны сжатого волокна балки, которое находится с вогнутой части балки. Положительные значения изгибающего момента откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.

Примечание: Студенты строительных специальностей строят эпюру изгибающего момента со стороны растянутоговолокна, что не влияет на результаты расчетов балок на прочность и жесткость.

Рисунок 16 – Правило знаков для изгибающего момента

При решении задач, связанных с расчетами балок на прочность и жесткость, строятся графики изменения этих усилий по длине бруса - эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Целью построения эпюр при расчетах на прочность является наглядное представление изменения внутренних усилий в сечении в зависимости от его положения и определение наиболее нагруженных участков балки.

Для того чтобы установить закон изменения внутренних усилий по длине балки, выбирается прямоугольная система координат, ось абсцисс xнаправляется вдоль оси балки, а оси y,z совмещаются с главными центральными осями инерции поперечного сечения. Затем записываются аналитические выражения для поперечной силы и изгибающего момента в виде функций от абсциссы x, определяющей положение рассматриваемого сечения. Составив уравнения Q(x) иM_z(x), абсциссам дают последовательно конкретные значения и вычисляют величины Q и M_z, откладывая их в принятом масштабе от оси эпюры вверх или вниз, строя таким образом графики функций Q(x) и M_z(x) - эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

При изгибе балки в ее поперечном сечении возникают нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения определяются по формуле

(5.1)

где

M_z- изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

J_z- момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;

y - расстояние от нейтральной оси до точки, где определяется напряжение.

Условие прочности при изгибе для пластичных материалов

(5.2)

где

W_z - осевой момент сопротивления при изгибе, вычисляемый относительно нейтральной оси. Для простых геометрических фигур его вычисляют по формулам:

для прямоугольника:

для круга:

Моменты сопротивления прокатных профилей приводятся в таблицах сортамента.

Для хрупких материалов (чугун, высокоуглеродистые стали), имеющих существенно различные пределы прочности при растяжении σ_вр и сжатииσ_вс, требуется проверка их прочности по наибольшим растягивающим σ_р и наибольшим сжимающим напряжениям σ_с:

(5.2)

где

;

n - запас прочности.

Пример решения задачи №5

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения стальной балки (рис. 17) для различных форм сечения: двутавровой балки, балки прямоугольного сечения со сторонами h и b при h/b = 2 и круглого поперечного сечения. Балка выполнена из стали с допускаемым напряжением [σ] = 190 МПа; а = 1 м; q = 10 кН/м.

Рисунок 17 – Расчетная схема балки

Определение опорных реакций

На схеме показываем опорные реакции R₁, H , R₂ . Вертикальные реакции направляем вверх и записываем уравнения равновесия:

Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия:

Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

2. Построение эпюры Q

Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются промежуточные шарниры. В рассматриваемой балке граничными сечениями будут сечения A, B, C и D. Для каждого из трех участков запишем аналитическое выражение Q (x).

Участок AB, 0 < x < a. Рассмотрим произвольно выбранное сечение с абсциссой x. Рассекая балку в этом сечении на две части и отбросив правую часть, вычисляем алгебраическую сумму проекций на ось y всех сил, действующих на оставшуюся часть:

Поперечная сила не зависит от переменной x на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс. Отложив от оси эпюры вверх в выбранном масштабе 0,5qa (рис. 18), строим эпюру на этом участке.

Участок BC, a < x < 2a. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось y слева от сечения с абсциссой x

Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения найдем значения поперечной силы на границах участков балки

Участок CD, 2a < x < 3a. Поперечная сила на расстоянии x от начала координат

Так как поперечная сила не зависит от переменной x, на последнем участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси балки (см. рис. 18).

3. Построение эпюры M_z

Аналитическое выражение для вычисления изгибающего момента в сечении x необходимо записать для каждого участка балки.

Участок AB :

На этом участке балки изгибающий момент возрастает по линейному закону и эпюра M_z ограничена наклонной прямой. Вычисляя его значения в сечениях на границах участка, строим в масштабе (рис. 18) эпюру M_z на сжатом волокне

Участок BC:

Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре M_zне будет.

Определим изгибающий момент на границах участка:

Отложив вверх от оси балки найденные значения, проводим квадратную параболу выпуклостью вверх (навстречу вектору усилия равномерно распределенной нагрузки).

Участок CD:

В пределах последнего участка балки (2a < x < 3a) изгибающий момент линейно зависит от абсциссы x, и эпюра ограничена прямой линией.

При при

Эпюры Q иM_zпоказаны на рис. 18.

Рисунок 18 – Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

По эпюре M_z находим опасное сечение балки - сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном

сечении = M_z(2a)=1,5qa² или после подстановки числовых значений .

Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения

Номер двутавра находим по расчетному значению момента сопротивления W_z, используя таблицы сортамента прокатной стали.

Внимание! В таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение) оси zсоответствует ось x , это означает, что .

Наиболее близок к требуемому момент сопротивления двутавра №14, равный W_x = 81,7см³. Выбрав это сечение, определяем нормальные напряжения в поперечном сечении балки:

Подбираем прямоугольное сечение, момент сопротивления которого определяется с учетом того, что h = 2b:

Отсюда

Круглое поперечное сечение имеет момент сопротивления

Диаметр круга

Рассмотрим второй метод построения эпюр внутренних усилий, действующих в сечениях балки. Он состоит в том, что поперечные силы и изгибающие моменты вычисляются на границах участков без записи уравненийQ(z), M(z), а соответствующие эпюры строятся на основании дифференциальных зависимостей между Q, M, q:

(5.3)

Зависимости (5.3) позволяют установить следующие характерные особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

· На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси балки, а эпюра M - наклонными прямыми.

· На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра M - квадратными параболами, выпуклость которых направлена навстречу вектору равномерно распределенной нагрузки.

· На участках, где Q > 0, изгибающий момент возрастает; если Q < 0 - изгибающий момент убывает.

· В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре M - переломы, острие которых направлено против действия этих сил.

· В сечениях, где к балке приложены пары сил (сосредоточенные моменты), на эпюре M будут скачки на величину этих моментов.

· Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка и эпюра Q в пределах участка изменяет знак, то в сечении, где Q = 0, на эпюре M_z будет экстремум.

Примеры использования дифференциальных зависимостей при расчете балок приводятся ниже.

Рассмотрим задачу подбора сечения балки, изготовленной из хрупкого материала. Балка (рис. 19) изготавливается из чугуна и имеет сечение, показанное на рис. 21.

Требуется определить из расчета на прочность по допускаемым напряжениям размеры поперечного сечения, если материал балки - чугун с допускаемым напряжением на сжатие [σ]_сж= 700 МПа и на растяжение [σ]_р = 140 МПа; a = 1 м; q = 10 кН/м.

Рисунок 19 – Расчетная схема чугунной балки

Для нахождения опасного сечения строим эпюры M и Q. Очевидно, что данная балка имеет три участка:

AB (0 ≤ x ≤ a), BC (a ≤ x ≤ 2a), CD (2a ≤ x ≤ 3a).

Для того чтобы не вычислять опорные реакции, рассмотрим балку, начиная с участка AB. Найдем поперечную силу и изгибающий момент в начале этого участка. Мысленно рассечем балку в сечении A на две части и отбросим правую ее часть. Слева на оставшуюся часть действует только сосредоточенная сила, равная 2qa. Проектируя эту силу на нормаль к оси балки, получаем

Q(0) = 2qa.

Рассекая балку в сечении B и поступая аналогично, находим величину поперечной силы в этом сечении - она равна алгебраической сумме проекций сил, действующих на оставшуюся левую часть балки, на нормаль к ее оси:

Q(a) = 2qa - qa = qa,

где

2qa - проекция сосредоточенной силы на нормаль к оси балки;

qa - проекция равнодействующей распределенной нагрузки.

Изгибающий момент в начале первого участка M(0) = 0; в конце участка он равен алгебраической сумме моментов относительно точки B от сосредоточенной силы 2qa и распределенной нагрузки:

Строим эпюры Q и M_zдля первого участка балки.

Выбрав масштаб, откладываем вверх от оси эпюр (Q и M_zположительны!) найденные значения поперечных сил и изгибающих моментов. На эпюреQ соединяем прямой линией точки с координатами (0, 2qa) и (a, qa), а на эпюре M_z проводим квадратную параболу выпуклостью вверх через точки (0, 0) и (a, 1,5qa²).

Поступая аналогично, вычисляем поперечные силы и изгибающие моменты в начале и конце участков BC и CD.

Участок BC: ;

Q (a) = qa, Q (2a) = qa;

M (a) = 1,5qa², M (2a) = 2,5qa².

Отложив вверх вычисленные значения Q и M, строим эпюры внутренних усилий на втором участке балки. Как следует из дифференциальных зависимостей, эти эпюры ограничены прямыми линиями.

Участок CD: ;

Q (2a) = qa, Q (3a) = qa;

M (2a) = 4,5qa², M (3a) = 5,5qa².

В начале последнего участка к балке приложена пара сил, что вызывает появление скачка на эпюре изгибающих моментов. На участке CDраспределенной нагрузки нет, поэтому эпюры Q, M_z ограничены прямыми линиями (рис. 20).

Окончательный вид эпюр Q , M_z показан на том же рисунке.

Рисунок 20 – Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Опасное сечение находится в заделке и расчетный изгибающий момент = 5,5qa² = Н*м = Н*м = 55 кН*м.

Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти из условия прочности балки осевой момент сопротивления относительно его нейтральной оси.

Заданное сечение (рис. 21) имеет ось симметрии, и для определения положения его центра тяжести достаточно вычислить только одну его координату - ординату у_с.

Разобьем заданную фигуру на две простые части: прямоугольник (1) и полукруг (2). В качестве исходных осей принимаем главные центральные оси прямоугольника y₁, z₁. Тогда ордината центра тяжести всей фигуры определится по формуле

Определив положение центра тяжести, проводим главные центральные оси Y, Z составной фигуры.

Рисунок 21 – Поперечное сечение чугунной балки

Вычисляем момент инерции заданного сечения относительно главной центральной оси Z (При рассмотрении полукруга, главная центральная ось инерции которого z₂, использованы приближенные значения ):

При расчете на прочность балок, изготовленных из хрупких материалов, для сечений с одной осью симметрии необходимо вычислять два момента сопротивления относительно оси Z:

Из эпюры изгибающих моментов (рис. 20), построенной на сжатом волокне, следует, что в опасном сечении верхние волокна балки сжаты, а нижние растянуты. Условие прочности для опасных точек в растянутой зоне сечения имеет вид

Отсюда t = 0,043 м = 4,3 см.

Опасной точкой в сжатой зоне является точка, наиболее удаленная от оси z на расстояние Условие прочности балки по допускаемым напряжениям на сжатие

Отсюда t = 0,026 м = 2,6 см.

В расчете по нормальным напряжениям из двух найденных значений t принимаем большее (t = 4,3 см), что обеспечивает прочность материала балки как в растянутой, так и в сжатой зонах.

Рассмотрим пример подбора составного сечения стальной балки.

Для балки (рис. 22) подобрать сечение, состоящие из двух стальных швеллеров.Пусть а = 1 м; q = 10 кН/м; [σ] = 190 МПа.

Рисунок 22 – Расчетная схема балки

Определяем опорные реакции:

Отметим, что момент распределенной нагрузки относительно опоры B равен нулю, а реакция второй опоры направлена не вверх, как показано на рис. 22, а вниз.

Проверка правильности вычисления опорных реакций:

Реакции определены правильно.

Эпюры Q, M_z строятся аналогично эпюрам предыдущего примера. Вид эпюр показан на рис. 23.

Рисунок 23 – Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

По эпюре M_z находим величину изгибающего момента, максимального по модулю

Сечение балки подбираем из условия прочности при изгибе. Требуемый момент сопротивления сечения, состоящего из двух швеллеров

Осевой момент сопротивления одного швеллера будет в два раза меньше -

По таблице сортамента прокатной стали находим, что ближайший подходящий момент сопротивления имеет швеллер № 12, для которого W_z = W_x =50,6 см³. Швеллер № 10 с осевым моментом сопротивления 34,8 см³ принять нельзя, так как в этом случае момент сопротивления сечения, составленного из двух швеллеров, будет равен 69,6 см³ < 79 см³ и напряжения в балке превысят допускаемые на 13 %, что неприемлемо (в расчетах допускается перенапряжение ≤ 5%) .

Рассмотрим пример решения второй части задачи № 5.

Построим эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения для двух балок- двутавровой стальной и чугунной.

Нормальные напряжения в поперечном сечении балок при изгибе определяются по формуле (5.1).

По ширине сечения нормальные напряжения распределяются равномерно. Зависимость между σ и у линейная, нормальные напряжения прямо пропорциональны расстоянию слоя волокон от нейтральной оси, совпадающей с главной центральной осью инерции Z.

Вычислим максимальные нормальные напряжения в двутавровом сечении балки

Минимальные (сжимающие) напряжения в двутавровом сечении по абсолютной величине будут равны максимальным растягивающим напряжениям.

Для чугунной балки величина максимальных (растягивающих) напряжений

Минимальные (сжимающие) напряжения

Выбрав масштаб, строим эпюры распределения нормальных напряжений по высоте стальной (рис. 24, а) и чугунной (рис. 24, б) балок.

Рисунок 24 – Распределение нормальных напряжений по высоте балок

Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 49; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!