Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 10. Найти полный дифференциал функции 
трёх переменных x, y, z.
Посмотреть правильное решение и ответ.
Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.
Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.
Теорема. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
и 
в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).
Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции, так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.
Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид
(8)
где α и β – бесконечно малые при 
и 
.
Частные производные высших порядков
Частные производные и функции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.
При этом употребляются следующие обозначения:
- производные от
по x и y.
Эти же производные можно записать и в другой форме:
|
|
|
Все эти производные являются частными производными второго порядка от функции f(x, y). От них можно опять взять производные. Например,
есть частная производная третьего порядка функции f(x, y), взятая один раз по x и один раз по y.
Новых правил для составления частных производных высших порядков не требуется: производные составляются постепенно одна за другой, причём для смешанных частных производных справедлива следующая теорема.
Теорема. Если смешанные частные производные 
и 
непрерывны в некоторой открытой области, то они совпадают.
Другими словами, для непрерывной смешанной частной производной порядок дифференцирования не играет роли.
Пример 11. Найти частные производные 
и 
функции 
и убедиться в равенстве этих частных производных.
Решение:
;
;
;
.
Как видно из решения, смешанные частные производные равны.
Пример 12. Для функции
вычислить частную производную
Решение. Первое и второе дифференцирование производим по x:
а третье – по y:
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!