ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРОВОДНИКАМИ

Основы расчета электродинамических сил

Основные понятия

Обтекаемый током i прямолинейный проводник длиной l (рис. 3-1, а), расположенный в магнитном поле с индукцией В, испытывает механическую силу

где β — угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

Для системы из нескольких обтекаемых током проводников можно всегда представить, что любой из этих проводников расположен в магнитном поле, созданном токами других проводников, и соответствующим образом взаимодействует с этим полем, т. е. между проводниками, охваченными общим магнитным потоком, всегда возникают механические силы. Эти силы называются электродинамическими.

Аналогичные силы возникают между проводником, обтекаемым током, и ферромагнитной массой. Направление действия силы определяется «правилом левой руки».

Направление действия силы может быть также определено из следующего общего положения: силы, действующие в контуре с током, стремятся изменить конфигурацию контура так, чтобы охватываемый контуром магнитный поток увеличился.

Весьма удобным для определения направления действия электродинамической силы является метод, предложенный акад. В. Ф. Миткевичем, основанный на представлении бокового распора и тяжения магнитных линий. Рисуют и накладывают друг на друга картины магнитных полей, создаваемых током каждого из проводников. Благодаря боковому распору магнитных силовых линий сила, действующая на проводник, направлена в сторону, где поле ослаблено (рис. 3-1, г).

При нормальных эксплуатационных условиях электродинамические силы, как правило, малы и не вызывают каких-либо деформаций, а тем более поломок деталей в аппаратах. Однако при коротких замыканиях эти силы достигают весьма больших значений и могут вызвать деформацию или разрушение не только отдельных деталей, но и всего аппарата. Это обстоятельство требует проведения расчета аппарата (или отдельных его узлов) на электродинамическую устойчивость, т. е. на способность выдержать без повреждений прохождение наибольшего возможного в эксплуатационных условиях (или заданного) тока короткого замыкания. Такой расчет тем более необходим ввиду того, что с целью получения минимальных габаритов в аппаратах стремятся располагать токоведущие части как можно ближе друг к другу.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ

Расчет электродинамических сил ведется обычно либо на основании закона взаимодействия проводника с током и магнитным полем (первый метод), либо по изменению запаса магнитной энергии системы (второй метод).

Расчет электродинамических сил на основании закона взаимодействия про водника с током и магнитным полем. Возьмем систему из двух произвольно расположенных проводников 1 и 2 (рис. 3-1,б), обтекаемых токами i ₁ и i₂. Напряженность магнитного поля, создаваемого элементом dy проводника 2 в месте расположения элемента dx проводника 1, будет

где α — угол между вектором ρ и направлением тока по элементу dy .

Весь проводник 2 создает в месте расположения элемента dx напряженность магнитного поля

Элементарная сила, действующая на элемент dx , обтекаемый током i₁,

где β — угол между вектором магнитной индукции В = μ₀ H_dx и вектором тока i₁ ; μ₀ — магнитная проницаемость воздуха.

Полную силу F взаимодействия между проводниками 1 и 2 получим после интегрирования dF_dx по всей длине проводника 1:

Считая токи i₁ и i ₂ неизменными по всей длине проводника, уравнение (3-5) можно переписать в виде произведения членов:

Первый член этого выражения зависит только от значений токов. Второй член зависит только от взаимного геометрического расположения проводников и представляет собой безразмерную величину. Эту величину часто называют коэффициентом контура, который обозначим буквой с. Тогда

т. е. сила взаимодействия между двумя проводниками, обтекаемыми токами i ₁ и i ₂ , пропорциональна произведению этих токов (квадрату тока при i ₁ = i ₂ ) и зависит от геометрии проводников.

Подставив в уравнение (3-7) значение μ₀= 4л·10 ^-7 и вычисляя силу в ньютонах, получим

Расчет электродинамических сил по изменению запаса электромагнитной энергии контуров. Электромагнитное поле вокруг проводников и контуров с током обладает определенным запасом энергии. Электромагнитная энергия контура, обтекаемого током i ,

Электромагнитная энергия двух контуров, обтекаемых токами i₁ и i₂,

где L ₁, L ₂ — индуктивности контуров; М — взаимная индуктивность контуров.

Всякая деформация контура (изменение расположения отдельных его элементов или частей) или изменение взаиморасположения контуров приводят к изменению запаса электромагнитной энергии. При этом работа сил в любой системе равна изменению запаса энергии этой системы:

здесь dW — изменение запаса энергии системы при деформации системы в направлении х под действием силы F .

На указанном законе (3-11) и основан второй метод определения электродинамических сил в контурах. Электродинамическая сила в контуре или между контурами, действующая в направлении х , равна скорости изменения запаса энергии системы при деформации ее в том же направлении:

Согласно сказанному электродинамическая сила в контуре, обтекаемом током i ,

(3-13)

а электродинамическая сила между двумя взаимосвязанными контурами с токами i ₁ и i ₂ будет

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРОВОДНИКАМИ

Возьмем два параллельных круглых проводника 1 и 2 (рис. 3-1, в), расположенных в одной плоскости на расстоянии а друг от друга и обтекаемых токами i ₁ и i ₂. Расчет будем производить первым методом. Проделав все операции аналогично выражениям (3-2) — (3-8) и учитывая, что sinβ = 1, так как проводники расположены в одной плоскости, и вектор индукции в данном случае перпендикулярен этой плоскости (β = 90°), получим

где

Выразим подынтегральные переменные второго интеграла через одну из переменных, а именно через угол α. Примем за начало координат элемент dy и направление токов, совпадающее с положительным направлением координат. В этом случае текущая координата

Подставив полученные выражения в уравнение (3-15) и считая, что проводник 2 распространяется от —∞ до +∞, чему соответствует изменение угла α от π до 0, получим

Очевидно, если проводник l (l ₁ так же как и проводник 2, распространяется до ±∞, то с будет стремиться к бесконечности. Если проводник l имеет конечную длину, то

Согласно выражению (3-8) сила, действующая на проводник l , равна

Уравнение (3-19) определяет силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых бесконечно длинен, а второй имеет конечную длину l и расположен симметрично относительно первого. В случае когда оба проводника будут иметь конечную длину l, пределы интегрирования для выражения (3-17) будут уже не от π до 0, а от α₂ до α₁ (см. штриховые линии на рис. 3-1, в) и сила взаимодействия между двумя круглыми проводниками конечной и равной длины определится уравнением

В уравнении (3-20) множитель перед скобками представляет собой силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых имеет бесконечную длину. Обозначим эту силу через F _∞ . Коэффициент, заключенный в скобках, представляет собой величину, меньшую единицы. При а/ l < 0,2 (в практике, как правило, a / l« 0,2) величиной (а/ l )² по отношению к единице можно пренебречь. Тогда уравнение (3-20) примет вид

В практике весьма часто проводники имеют неравную длину. Силу взаимодействия между такими проводниками можно найти изложенным выше способом, производя интегрирование каждый раз в соответствующих пределах. Можно эту задачу решить, применив уравнение (3-20).

Рис. 3-2. К определению электродинамической силы между параллельными проводниками неравной длины

На рис. 3-2 приведены два проводника неравной длины l ₁ и l₂, расположенные друг от друга на расстоянии а и обтекаемые токами i ₁ и i ₂. Нарастим проводник l ₂ на отрезок l ₃ до длины, равной l ₁ . Проводник l ₁ можем также представить состоящим из двух отрезков l₂ и l₃. Тогда можем написать, что сила взаимодействия между проводниками длиной l ₁ и l ₂ (F_l ₁ _l ₂) равна сумме сил взаимодействия между двумя проводниками l₂ одинаковой длины ( F _l ₂ _l ₂) и двумя проводниками длиной l₂ и l₃ (F_l ₂ _l ₃):

Аналогично можно написать

Сложив уравнения (3-22) и (3-23), получим

Таким образом, сила взаимодействия между двумя проводниками неравной длины выражается через силу взаимодействия проводников равной длины:

При этом l₁ и l₂ — величины заданные, a l ₃ = l₁ — l₂.

Сила взаимодействия между параллельными круглыми проводниками может быть также определена по изменению запаса электромагнитной энергии.

Первый случай — оба проводника принадлежат к одной системе. Индуктивность системы из двух параллельных проводников радиусом r и длиной l, находящихся на расстоянии а, при условии, что l » а, определяется формулой

Нас интересует сила, действующая в направлении а. Согласно выражению (3-13)

из уравнения (3-26)

тогда

Из выражения (3-28) видно, что результат получился таким же, как и при определении этих сил первым методом.

Второй случай — проводники принадлежат к двум различным системам, при этом сами системы не претерпевают деформации. Взаимная индуктивность между двумя проводниками длиной l, находящимися друг от друга на расстоянии а, при условии, что l » а, определяется формулой

Согласно формуле (3-13) сила, действующая в направлении а,

здесь

так как сами системы не претерпевают деформации, а из выражения (3-29)

Тогда

т. е. результат, как и следовало ожидать, получился тот же.

Для двух параллельных проводников, расположенных с любым сдвигом, Г. Б. Холявский [34] получил удобную для расчета коэффициента контура формулу, основанную на геометрической интерпретации приведенных выше уравнений.

Величина представляет собой длину диагонали D (рис. 3-3, а) прямоугольника со сторонами l и а; следовательно, согласно уравнению (3-20) для проводников равной длины

а согласно уравнению (3-25) для проводников неравной длины

т. е. коэффициент контура равен разности суммарных диагоналей и боковых сторон четырехугольника (прямоугольник, трапеция, параллелограмм), построенного на данных отрезках проводников, деленной на его высоту.

Аналогичную, но более сложную интерпретацию можно дать и для перпендикулярно расположенных проводников.

Приведенные выше уравнения справедливы для проводников круглого и трубчатого сечений, для которых можно считать, что ток протекает по их геометрической оси.

Для проводников прямоугольного сечения (шин) следует вводить поправочный коэффициент — коэффициент формы k_ф, зависящий от размеров проводников и расстояний между ними (рис. 3-4):

3-4. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ МЕЖДУ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ПРОВОДНИКАМИ

Рис. 3-5. К определению электродинамической силы между перпендикулярно расположенными проводниками

На рис. 3-5 приведены часто встречающиеся в аппаратах формы перпендикулярно расположенных проводников, например в рубильниках, мостиковых контактных системах и многих других аппаратах и узлах.

Произведя расчеты, аналогичные предыдущим (первый метод), получим следующие выражения для сил, действующих на проводник l :

по рис. 3-5, а при h →∞

и при h конечном

по рис. 3-5,б сила будет соответственно в два раза большей:

Моменты относительно точки О, действующие на проводник l ( h →∞), по рис. 3-5,а:

Момент относительно точки О₁, действующий на половину проводника l (рис. 3-5,б),

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!