Классификация методов измерения сезонных волн
Лекция 5. Тема «Моделирование сезонных колебаний»
- Метод простой скользящей средней
Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя одни следующий. Отсюда название – скользящая средняя. Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.
Алгоритм расчета скользящей средней для конкретного ряда динамики 
.
1. Определить интервал сглаживания, т.е. число входящих в него уровней 
( 
), используя правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим, и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний, например, из-за автокорреляций уровней.
2. Вычислить среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при условии, что – нечетное число, по одной из формул
|
|
|
или 
, (5.1)
где 
- фактическое значение 
-го уровня ряда;
– число уровней, входящих в интервал сглаживания ( 
);
– среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания;
– порядковый номер уровня в интервале сглаживания;
– при нечетном равно: 
.
Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики несколько сложнее, т.к. средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания.
Если число членов скользящей средней обозначить через 
, то серединным будет уровень, относящийся 
члену ряда, т.е. имеет место сдвиг периода, к которому относится уровень. Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим периодами, следующая средняя – к середине между третьим и четвертым, и т. д. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.
|
|
|
3. Сдвинуть интервал сглаживания на одну точку вправо, потом вычислить по формуле (5.1) сглаженное значение для 
члена, снова произвести сдвиг и т.д. В результате последовательного применения приведенной итеративной процедуры получится 
новых сглаженных уровней.
Первые и последние членов ряда с помощью данного алгоритма сгладить нельзя, так как их значения теряются.
Метод простой скользящей средней вполне приемлем, если графическое изображение ряда динамики напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления. Однако когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и к тому же желательно сохранить мелкие волны, использовать для сглаживания ряда метод простой скользящей средней нецелесообразно, т.к. простая скользящая средняя может привести к значительным искажениям исследуемого процесса. В таких случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.
2. Метод взвешенной скользящей средней
Взвешенная скользящая средняя отличается от простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами. Это связано с тем, что аппроксимация сглаживаемого ряда динамики в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному 
(здесь – порядковый номер уровня в интервале сглаживания). Полином первого порядка 
есть уравнение прямой, следовательно, метод простой скользящей средней является частным случаем метода взвешенной скользящей средней. Коэффициенты полиномов находятся по способу наименьших квадратов.
|
|
|
На первом этапе сглаживания определяются интервал сглаживания и порядок аппроксимирующего полинома – параболы. Считается, что при использовании полиномов высоких степеней и при меньших размерах интервалов сглаживание ряда динамики будет более «гибким».
Центральная ордината параболы принимается за сглаженное значение соответствующего фактическим данным уровня. Поскольку отсчет времени в пределах интервала сглаживания производится от его середины, т. е. 
, то сглаженное значение уровня равно параметру 
подобранной параболы и является соответствующей скользящей средней. Поэтому для сглаживания нет необходимости прибегать к процедуре подбора системы парабол, так как величину можно получить как взвешенную среднюю из уровней.
|
|
|
3. Выбор уравнения тренда
Выбор уравнения тренда, отображающего развитие социально-экономических явлений во времени. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.
Полиномы имеют следующий вид:
полином первой степени 
;
полином второй степени 
;
полином третьей степени 
;
полином 
-й степени 
,
где 
– параметры полиномов;
– условное обозначение времени.
В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры 
– изменение ускорения.
В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу, полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени – для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени – с постоянными третьими разностями и т.д.
Для полиноминальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.
Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента 
или 
. Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции.
Отдельные уравнения выражают различные типы динамики. Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции: 1) линейная; 2) параболическая; 3) степенная; 4) экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная; 5) сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола; 6) гиперболическая (главным образом убывающих процессов); 7) комбинация их видов.
Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т.е. тех, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, применяются логистические функции;
Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:
или 
где 
– основание натурального логарифма.
Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при 
стремится к нулю, а при 
стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти вторую производную от по и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через местоположение точки перегиба кривой, 
; 
.
Тип процессов, характеризующийся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее уравнение:
.
Возможны четыре варианта этой кривой. Для экономистов наибольшее значение имеет кривая, у которой 
и 
. Развитие уровня такой кривой имеет следующие этапы. Если коэффициент 
меньше единицы при отрицательном значении 
, то на первом этапе прирост кривой незначителен. Он медленно увеличивается по мере роста , но на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, а затем, после точки перегиба, он начинает уменьшаться, и на подходе к линии асимптоты прирост кривой опять незначителен.
Прологарифмировав функцию Гомперца
,
получим модифицированную экспоненту. Вводя в модифицированной экспоненте величину, обратную получим логистическую кривую. Следовательно, логистическая кривая имеет сходство с кривой Гомперца. Различие между ними состоит в том, что изменение во времени первых разностей кривой Гомперца асимметрично, а у логистической кривой их изменение во времени имеет симметричный вид, напоминающий нормальное распределение. Для выбора уравнения можно воспользоваться формулой стандартной ошибки
,
где – число параметров уравнения,
или применить критерий наименьшей суммы квадратов отклонения эмпирических уровней от теоретических
.
Из множества возможных уравнений тренда можно выбрать то уравнение, которому соответствует минимальное значение, т. е. критерий наименьших квадратов отклонений, либо использовать формулу средней ошибки аппроксимации:
.
Все эти характеристики имеют один и тот же смысл: показывают, как близко аналитическая функция выравнивания огибает все значения исходного ряда. Поэтому, проводя сравнительную оценку моделей тренда, можно использовать лишь одну из перечисленных характеристик. Результаты такой оценки, полученные на основе прочих характеристик, как правило, совпадают. Наиболее часто в качестве меры точности аппроксимации выбирают остаточную дисперсию или остаточное среднее квадратическое отклонение.
4. Расчет параметров полиномов различными методами
После того как выяснен характер кривой развития, необходимо определить ее параметры.
Элементарный метод определения параметров уравнения тренда, описанного полиномом или экспонентой, состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда динамики. Например, приняв условные обозначения времени через и предположение взять две точки – конечный и начальный уровни, можно построить уравнение прямой по этим двум точкам.
Другим способом определения параметров уравнения является метод средних значений (линейных отклонений), заключающийся в следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части и вводится требование, чтобы сумма выровненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, т.е. чтобы сумма отклонений фактических данных от выровненных равнялась нулю.
В случае выравнивания по прямой линии ,
где , – параметры, получаем
,
откуда 
.
Если применить это требование к каждой из двух частей ряда, то, вычисляя для каждой из двух частей ряда, то, вычисляя для каждой части ряда динамики 
и 
, получим два уравнения с двумя неизвестными. В результате решения этой системы уравнений находим параметры и , т.е. начальный уровень и скорость ряда. При этом значение 
.
Метод средних значений прост и требует минимального количества вычисления. Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда на две части мы будем получать разные результаты. Метод средних значений, так и выравнивание ряда динамики с помощью среднего прироста и темпа роста, может применяться для ориентировочных расчетов.
Выравнивание ряда динамики с помощью метода конечных разностей. Этой метод заключается в следующем.
Пусть ряд динамики 
описывается полиномом -ой степени. Для полинома -ой степени вычисляем первые разности 
, вторые разности 
и т.д.
Общая формула -ой разности:
.
Любой член ряда динамики можно выразить через начальный уровень ряда 
и конечные разности:
; 
, но 
, поэтому 
, и т.д.
Отсюда получаем
.
Если первые разности не раны, но варьируют с незначительными отклонениями друг от друга, а средняя арифметическая вторых разностей настолько мала, что ею можно пренебречь, то первые разности можно считать практически равными.
Окончательная формула для расчета уровней ряда динамики при равных или почти равных первых разностях будет:
.
Если, анализируя вторые разности, мы придем к выводу, что они практически равны, то вычисляя коэффициенты параболы второго порядка, получаем тренд ряда динамики:
,
где – выровненное значение ряда динамики;
– средний уровень ряда динамики;
– средняя арифметическая первых разностей;
– средняя арифметическая вторых разностей;
– число уровней;
– независимая переменная (время).
Метод наименьших квадратов при расчете параметров полиномов. Этот метод при моделировании рядов динамики можно рассматривать как некоторый прием получения оценки детерминированной компоненты 
, которая характеризует тренд изучаемого явления.
Сущность метода хорошо известна из регрессионного анализа.
Повторить, используя источники [1, с. 367-370; Сигел].
5. Гармонический анализ рядов динамики
Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции или наблюдается автокорреляция не в самих уровнях, а в их отклонениях от полученных по определенным аналитическим формулам теоретических значений. В таких случаях следует использовать гармонический анализ. Целью данного анализа являются выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики и автокорреляции в остатках ряда.
Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом.
Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков. Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного периода.
В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой:
,
где – время;
– полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее и наименьшее отклонения от оси ;
– период (длина волны) колебательного движения;
– начальная фаза колебания, при 
получаем 
.
Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга (сумма) отражало бы периодические колебания фактических уровней динамического ряда. С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:
.
В этом уравнении величина 
определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята целым числом (чаще всего от 1 до 4). Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квадратов.
Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, из которой вычислим параметры:
; 
; 
.
Последовательные значения обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным 
, где – число уровней ряда динамики.
6. Методы выявления периодической компоненты
Для проверки предположения о существенности периодической компоненты ряда динамики целесообразно использовать такие критерии случайности, которые имеют наибольшую мощность относительно альтернативной гипотезы о цикличности ряда. Наиболее простым для применения и зрительно понятным является критерий «пиков» и «ям». В основе этого критерия лежит подсчет числа экстремальных точек ряда , который осуществляется следующим образом:
,
где 
;
– число наблюдений в ряду динамики.
Для случайного ряда математическое ожидание числа экстремальных точек
.
Проверка гипотезы сводится к сравнению 
с расчетным значением 
. Если эти значения близки, то можно отказаться от дальнейшей проверки и признать ряд случайным. Если же и значительно отличаются друг от друга, то производится дальнейшая проверка гипотезы, основанная на подсчете фаз различной длины.
Фазой называется интервал между двумя соседними уровнями, для которых 
. Для определения длины фазы 
достаточно просто найти разности индексов двух соседних экстремальных точек. Затем подсчитывается число фаз 
, 
, 
длин 
, 
, 
. Теоретическое значение числа фаз длины для случайного ряда следующее:
.
Естественная процедура проверки случайности сводится к сравнению наблюдаемых значений , , с теоретическим значением 
. Однако при небольшом числе наблюдений критерий 
здесь непосредственно использовать нельзя, так как в этом случае длины фаз 
не являются независимыми. Доказано, что при разбиении длины фазы на три группы: 
, , (две степени свободы) – статистика может быть использована в обычной форме ( 
) при 
. Расчетные значения в случае трех групп длин фазы определяются по формуле
.
Если 
, то колебания исходного ряда нельзя считать чисто случайными и ряд содержит периодическую составляющую. Этот критерий весьма чувствителен к периодическим колебаниям и имеет практически нулевую эффективность относительно альтернативы наличия тренда, поэтому он может применяться непосредственно к исходному ряду динамики в отличие от других критериев, которые требуют, чтобы из ряда динамики предварительно была выделена систематическая составляющая.
7. Моделирование сезонных колебаний
После того как установлена периодическая составляющая, производится ее анализ.
При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания», или «сезонные волны», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.
Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности 
. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.
Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (не менее трех) используют для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.
Для вычисления индексов сезонности применяются различные методы (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Классификация методов измерения сезонных волн
| Методы измерения сезонных волн, основанные на применении | Наименование методов вычисления сезонных волн |
| Средней арифметической |
|
| Относительных величин |
|
| Механического выравнивания |
|
| Аналитического выравнивания |
|
Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.
Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года 
, затем из них вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда 
, и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е.
.
Подобно сезонной компоненте ряда динамики циклическая компонента также представляет собой волнообразные движения (на графике), но она более продолжительна и не менее предсказуема, чем сезонные колебания. Сущность классического метода устранения циклической компоненты ряда динамики заключается в исключении (или в усреднении) основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, т.к. при этом остается 
циклическая и, как правило, нерегулярная компонента. Поскольку эти компоненты составляют то, что остается после подобных расчетов, этот метод называется остаточным.
Экономисты уделяют большое внимание анализу деловых циклов и их причинам.
Литература
1. Теория статистики: Учебник/ Под ред. проф. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – С. 356-382.
2.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 28; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!