Геометричний зміст визначеного інтеграла
ЛЕКЦІЯ 27. Визначений інтеграл
ПЛАН
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла
Поняття визначеного інтеграла
Властивості визначеного інтеграла
Поняття визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона—Лейбніца
Метод підстановки у визначеному інтегралі
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Формули наближеного обчислення визначених інтегралів
Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат
Обчислення об’єму тіла
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла
Означення 1. Криволінійною трапецією називається плоска фігура, що обмежена лініями: 
На рис. 1. зображені: класична криволінійна трапеція (а) та її вироджені випадки (б) та (в).
Рис. 1
Задача. Обчислити площу криволінійної трапеції аАВв (рис. 2).
Розв’язання.
Розіб’ємо проміжок [a; b] на n частин точками 
так що 
Виберемо точки 
так: 
Побудуємо прямокутники з основою 
і висотою 
(рис. 2).
Площа елементарного прямокутника 
. Площа ступінчастої фігури 
буде тим менше відрізнятись від площі криволінійної трапеції SaABb, чим менша довжина 
, а в граничному випадку ці площі будуть збігатися, тобто 
Рис. 2
Задача. Обчислити роботу змінної сили 
що виконується при переміщенні матеріальної точки на проміжку 
(рис.3).
Розв’язання.
Розіб’ємо проміжок [a; b] на n частин точками 
На кожному з відрізків 
вважатимемо, що сила стала і дорівнює 
, 
(рис. 3).
|
|
|
Рис. 3
Елементарна робота сили на відрізку 
буде 
Робота А сили 
на відрізку [a; b] знайдеться тоді так:
Означення 2 . Сума типу 
називається інтегральною сумою.
Оперувати поняттям інтегральної суми доводиться у процесі розв’язку різних задач. Взагалі інтегральна сума може залежати від способу розбиття проміжка [a; b] на частини , а також від вибору на них точок 
Поняття визначеного інтеграла
Нехай 
— деяка функція, що задана на проміжку [a; b]. Розіб’ємо [a; b] на n частин точками 
так що
Обчислимо 
де 
Складемо інтегральну суму 
.
Позначимо 
.
Означення 3. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при 
і не залежить ні від способу розбиття [a; b] на частини , ні від вибору точок 
, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції 
на проміжку [a; b] і позначається:
, (1)
де 
— знак визначеного інтеграла;
а, b — нижня та верхня межі інтегрування;
f(x) — підінтегральна функція;
f(x) dx — підінтегральний вираз;
dx — диференціал змінної інтегрування.
За означенням, визначений інтеграл 
- число, яке залежить від типу функції та проміжку [a; b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування: 
|
|
|
Означення 4. Функція, для якої на [a; b] існує визначений інтеграл називається інтегровною на цьому проміжку.
Геометричний зміст визначеного інтеграла
Якщо 
, то дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 2).
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!