Якщо похідна диференційовної функції додатна всередині деякого проміжку, то функція зростає на цьому проміжку.
Якщо похідна диференційовної функції від’ємна всередині проміжку, то функція спадає на цьому проміжку.
Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції 
.
Область визначення функції — уся числова вісь 
. Знайдемо похідну 
. Функція диференційовна на проміжку .
Для визначення проміжку зростання функції розв’яжемо нерівність 
, тобто функція зростає на проміжку 
.
При визначенні проміжку спадання функції (рис. 4.8) маємо 8 – 2х < 0, тобто 
.
Екстремуми функцій
Означення. При значенні х1 аргументу х функція f (х) має максимум f (х1), якщо в деякому околі точки х1 виконується нерівність (рис. 1) 
. Аналогічно: при значенні х2 аргументу х функція f (х) має мінімум f (х2), якщо в деякому околі точки х2 має місце нерівність (див. рис. 4.9) 
.
Рис. 1
Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції, а ті значення аргументу, при яких досягаються екстремуми функції, називаються точками екстремуму функції (відповідно точками максимуму або мінімуму функції).
Екстремум функції, у загальному випадку, має локальний характер — це найбільше або найменше значення функції порівняно з ближніми її значеннями.
Необхідна умова екстремуму функції. Теорема. У точці екстремуму диференційовної функції похідна її дорівнює нулю:
Геометрична умова означає, що в точці екстремуму диференційовної функції 
дотична до її графіка паралельна осі Ох (рис. 2).
|
|
|
Рис. 2
Наслідок. Неперервна функція може мати екстремум тільки в тих точках, де похідна функції дорівнює нулю або не існує.
|
Рис. 3 |
Справді, якщо в точці х0 екстремуму функції 
існує похідна 
, то, згідно з даною теоремою, ця похідна дорівнює нулю.
Те, що в точці екстремуму неперервної функції похідна може не існувати, показує приклад функції, графік якої має форму «ламаної» (рис. 3).
Ті значення аргументу х, які для заданої функції перетворюють на нуль її похідну 
або для якої похідна не існує (наприклад, перетворюється на нескінченність), називаються критичними значеннями аргументу (критичними точками).
Достатні умови екстремуму функції. Із того, що 
, не випливає, що функція має екстремум при 
.
|
Рис. 4 |
Наприклад, нехай 
. Тоді 
і 
, однак значення 
не є екстремумом даної функції, оскільки різниця 
змінює знак при зміні знаку аргументу х (рис. 4).
Отже, не для будь-якого критичного значення аргументу функції має місце екстремум цієї функції. Через це поряд з необхідною умовою існують достатні умови існування екстремуму функції.
Теорема 1 (перше правило).
Нехай функція 
неперервна на деякому інтервалі, в якому міститься критична точка х0, і диференційовна в усіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки х0). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна:
|
|
|
1) змінює знак з «+» на «–», то при х = х0 функція має максимум;
2) змінює знак «–» на «+», то функція має у цій точці мінімум;
3) не змінює свого знака, то функція в точці х = х0 екстремуму не має.
Геометрична ілюстрація теореми 1 (рис. 5). Нехай у точці х = х1 маємо 
і для всіх х, достатньо близьких до точки х1, виконуються нерівності
Рис. 5
Тоді при 
дотична до кривої утворює з віссю Ох гострий кут — функція зростає, а при 
дотична утворює з віссю Ох тупий кут — функція спадає; при х = х1 функція переходить від зростання до спадання, тобто має максимум.
Якщо в точці х2 маємо 
і для всіх значень х, достатньо близьких до точки х2, виконуються нерівності
то при 
дотична до кривої утворює з віссю Ох тупий кут — функція спадає, а при 
дотична до кривої утворює гострий кут — функція зростає. При х = х2 функція переходить від спадання до зростання, тобто має мінімум.
Якщо при х = х3 маємо 
і для всіх значень х, достатньо близьких до х3, виконуються нерівності 
при 
; при 
, то функція зростає як при , так і при 
. Звідси при х = х3 функція не має ні максимуму, ні мінімуму.
|
|
|
Зауваження. На основі даної теореми можна сформулювати таке правило для дослідження неперервної функції на максимум і мінімум.
1. Знаходимо першу похідну функції, тобто .
2. Обчислюємо критичні значення аргументу х (критичні точки), для цього:
а) прирівнюємо першу похідну до нуля і знаходимо дійсні корені здобутого рівняння 
;
б) знаходимо значення х, для яких похідна має розрив.
3. Досліджуємо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Оскільки знак похідної залишається сталим в інтервалі між двома критичними точками, для дослідження знака похідної ліворуч і праворуч, наприклад від критичної точки х2, досить визначити знак похідної в точках 
і 
, де х1 і х3 — найближчі критичні точки).
4. Обчислюємо значення функції у кожній критичній точці.
Таким чином, маємо таке схематичне зображення можливих випадків:
Теорема 2 (друге правило). Якщо для диференційовної функції 
у деякій точці х0 її перша похідна 
дорівнює нулю, а друга похідна 
існує й відмінна від нуля, тобто 
, 
, то:
1) якщо друга похідна 
, то в точці х0 функція має мінімум;
2) якщо 
— максимум;
3) якщо 
— питання залишається відкритим, і для його розв’язання треба застосувати перше правило.
|
|
|
Зауваження. Для критичних точок, в яких похідна функції не існує або дорівнює нескінченності, друге правило не застосовується.
6. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Якщо функція неперервна на проміжку [a; b], то вона набуває на цьому проміжку свого найбільшого й найменшого значення.
Найбільше значення функції на проміжку [a; b] називається абсолютним максимумом, а найменше — абсолютним мінімумом.
Припустимо, що на даному проміжку функція має скінченне число критичних точок. Якщо найбільше значення досягається в середині проміжку [a; b], то очевидно, що це значення буде одним із максимумів функції (якщо існує кілька максимумів), точніше — найбільшим максимумом. Однак можливо, що найбільше значення досягатиметься на одному з кінців проміжку.
На підставі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої побудови візьмемо додатково точки на рис. 6: (–5; – 0,3), 
, (2; 3), (3; 1,3).
Рис.6
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!