Дифференциалы высших порядков.
Дифференцируемые функции нескольких переменных.
Пусть функция двух переменных 
определена в некоторой открытой области 
плоскости 
, 
– точка области . Придавая переменным приращения 
и 
, перейдем из точки 
в какую-нибудь точку 
той же области. При этом функция получит приращение
.
В отличие от частных приращений 
и 
это приращение называется полным приращениемфункции в точке , соответствующим приращениям и независимых переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде
, (4.1)
где 
– некоторые числа, 
– бесконечно малые при 
, 
(или, короче при 
).
Замечание. Функции 
и 
зависят от 
.
Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Соотношение (4.1) можно записать и в более сжатой форме:
(4.2)
где 
, 
– бесконечно малая при 
.
Слагаемое 
, линейное относительно и , является главной частью приращения, так как оставшееся слагаемое 
(или 
, если используется формула (4.2)) есть бесконечно малая более высокого порядка чем и .
ПРИМЕР. Функция 
будет дифференцируемой в любой точке 
, так как
Здесь 
– главная часть полного приращения функции, а слагаемое 
есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с и .
|
|
|
Данное выше определение дифференцируемости функции двух переменных является естественным обобщением определения дифференцируемости функции одной переменной. Следовательно, можно поставить вопрос о том, какие из свойств дифференцируемых функций одной переменной сохранятся для функции двух переменных. Так, было установлено, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Последнее условие оказалось и достаточным, т.е. из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. На функции двух переменных эти свойства переносится в следующем виде.
ТЕОРЕМА 4.1. (необходимые условия дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным. Причем 
, а 
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО…
1) Пусть 
дифференцируема в точке . Значит ее приращение в этой точке может быть записано в виде
, (*)
где – некоторые числа, – бесконечно малые при , . Тогда
|
|
|
.
С другой стороны,
.
Следовательно, 
,
⇒ 
,
т.е. непрерывна в точке .
2) Пусть 
. Тогда формула (*) примет вид
,
где 
– некоторое число, 
– бесконечно малая при , . Отсюда получаем: 
и 
.
Аналогично доказывается, что существует 
. ∎
С учетом теоремы 4.1 равенства (4.1) и (4.2) можно теперь записать в виде 
(4.3)
(4.4)
где – бесконечно малые при , , 
, 
– бесконечно малая при 
.
Утверждение обратное теореме 4.1 неверно. Из непрерывности функции двух переменных в точке и существования в этой точке ее частных производных еще не следует дифференцируемость функции.
ПРИМЕР. Функция 
непрерывна в точке 
и имеет в этой точке частные производные:
,
.
Однако эта функция не является дифференцируемой в точке . Действительно, в этой точке ее полное приращение равно
.
Если бы функция была дифференцируемой в точке , то слагаемое 
можно было бы представить в виде 
, где , а – бесконечно малая при . Но выделяя в множитель , мы получаем второй множитель 
. А эта функция не является бесконечно малой при (при любых 
имеем 
и, значит, в любой сколь угодно малой окрестности точки всегда найдутся точки 
для которых неравенство 
не выполняется для 
).
|
|
|
Для того, чтобы функция двух переменных была дифференцируема в данной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной надо наложить боле жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке. А именно, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.2. (достаточные условия дифференцируемости). Если функция имеет в некоторой окрестности точки частные производные 
и 
, причем в самой точке эти производные непрерывны, то функция дифференцируема в этой точке.
ПРИМЕР. 1) Функция 
в любой точке дифференцируема, так как ее частные производные 
и 
всюду непрерывны.
2) Функция 
дифференцируема в каждой точке полуплоскости 
, так как там существуют и непрерывны ее частные производные 
.
И в заключение этого пункта заметим, что все определения и теоремы, которые мы здесь формулировали, легко переносятся на случай функций большего числа переменных.
Дифференциал.
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде
,
где – бесконечно малые при , .
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция дифференцируема в точке . Главная, линейная относительно и часть ее полного приращения в этой точке, т.е.
,
называется полным дифференциалом функции 
в этой точке и обозначается 
или 
.
Из этого определения следует, что разность между полным приращением и полным дифференциалом функции в данной точке есть бесконечно малая более высокого порядка чем и :
где – бесконечно малые при , . Это обстоятельство можно использовать в приближенных вычислениях.
Пусть, например, нам известны значения дифференцируемой функции и ее частных производных и в точке . Требуется вычислить значение этой функции в точке . Для этого рассмотрим разность значений функции в точке и . По определению
.
Заменяя 
полным дифференциалом , получаем:
,
откуда
. (4.5)
Допущенная при этом погрешность будет тем меньше, чем меньше и .
ПРИМЕР. Вычислить приближенно 
.
Рассмотрим функцию 
. Искомое число представляет собой значение этой функции в точке 
.
Пусть 
, 
. Так как частные производные рассматриваемой функции 
, 
в точке 
непрерывны, то функция дифференцируема в точке и для вычисления ее значения в точке мы можем воспользоваться формулой (4.5).
Имеем: 
,
,
.
Из 
, 
находим, что 
, 
.
Подставляя все в (4.5) окончательно получаем:
Данное выше определение полного дифференциала функции двух переменных легко обобщается на случай дифференцируемой функции любого числа переменных: полным дифференциалом функции 
переменных в данной точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов часть полного приращения функции в этой точке.
Полному дифференциалу функции двух переменных, как в свое время дифференциалу функции одной переменной, можно придать геометрический смысл. Но для этого нам придется ввести понятие касательной плоскости к поверхности. Сделать это можно несколькими, эквивалентными между собой, способами. Предлагаемое ниже определение является естественным обобщением определения касательной (прямой) к линии.
Пусть 
– точка на поверхности 
. Возьмем на поверхности другую точку 
и проведем секущую прямую 
.
Плоскость, проходящая через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке  , если угол между секущей и этой плоскостью стремится к нулю когда точка стремится к , двигаясь по поверхности произвольным образом.
|
|
Из этого определения следует, что если у поверхности в данной точке есть касательная плоскость, то она единственная. Могут на поверхности быть и такие точки, в которых касательной плоскости к поверхности нет. Например, поверхность, заданная уравнением 
(коническая поверхность) в точке 
касательной плоскости не имеет.
Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке .
Позже мы покажем, что у поверхности, заданной уравнением , где 
– функция, дифференцируемая в точке , касательная плоскость в точке 
существует и имеет уравнение 
(4.6)
а нормаль в этой точке будет тогда иметь уравнение
(4.7)
Если поверхность задана уравнением 
, где 
– дифференцируемая в точке 
функция, причем хотя бы одна из ее частных производных не обращается в этой точке в ноль, то касательная плоскость к поверхности в точке существует и имеет уравнение
.
Уравнения нормали к поверхности в этой точки тогда будут иметь вид
.
Замечание. Точка поверхности , в которой все частные производные функции обращаются в ноль, называется особой точкой поверхности. В особой точке поверхность может не иметь касательной плоскости.
Выясним теперь геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Пусть функция дифференцируема в точке . Это значит, что поверхность, заданная уравнением , имеет в точке касательную плоскость, уравнение которой имеет вид (4.6). Полагая 
, 
, уравнение касательной плоскости можно переписать в виде
.
В этом равенстве слева стоит разность аппликат точек касательной плоскости, соответствующих точкам и , а справа – полный дифференциал функции в точке .
Таким образом, полный дифференциал функции в точке равен приращению, которое получает аппликата точки 
касательной плоскости, проведенной к графику функции в точке , когда ее координаты 
и 
получают приращения 
и 
соответственно.
Полный дифференциал функции в точке зависит от 1) координат точки, 2) от величины приращений и . Если рассматривать его во всех точках дифференцируемости функции и для всех возможный и , то получим функцию четырех переменных (в общем случае 
переменных), которую называют полным дифференциалом функции и обозначают 
или 
.
Легко доказать, что полный дифференциал функции нескольких переменных обладает теми же свойствами, что и дифференциал функции одной переменной. В том числе для него существует и вторая, инвариантная форма записи. Получим ее в заключение этого пункта.
Напомним, что если 
– дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению
(4.8)
Полагая, в частности, 
(т.е. 
), получаем
.
Аналогично, полагая 
, получаем, что 
.
Поэтому мы можем записать дифференциал функции в виде 
. (4.9)
Позже мы убедимся, что формула (4.9) остается верна и в том случае, когда – сложная функция.
Дифференциалы высших порядков.
Пусть дифференцируемая в области функция двух независимых переменных 
и 
. Тогда в любой точке этой области, давая и приращения 
и 
, мы можем вычислить полный дифференциал:
.
Будем в дальнейшем называть его дифференциалом первого порядка. Как мы уже ранее отмечали, это функция четырех переменных , , 
, 
. Закрепляя и , получаем функцию двух переменных и , определенную в области . Полный дифференциал от этой функции в любой точке области , если он существует, называется дифференциалом второго порядка от функции и обозначается 
или 
.
Дифференциал второго порядка это снова функция переменных и , определенная в области или ее части. Если от можно найти полный дифференциал, то будем называть его дифференциалом третьего порядка функции и обозначать 
или 
.
Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал -го порядка 
как полный дифференциал от дифференциала порядка 
.
Если функция 
имеет дифференциал порядка , то ее называют 
раз дифференцируемой.
Дифференциал первого порядка легко записать, зная первые частные производные. Дифференциалы высших порядков тоже могут быть выражены через частные производные. Покажем, например, как это сделать для дифференциала второго порядка.
Пусть функция – функция двух независимых аргументов и . Предположим, что 
имеет в области непрерывные частные производные второго порядка. Тогда по теореме 4.2 функция будет дифференцируемой в этой области и
. (4.10)
(здесь учтено, что 
, так как по условию они непрерывны).
Если теперь потребовать, чтобы функция имела в области непрерывные частные производные третьего порядка, то тоже
будет функцией дифференцируемой. Найдя ее дифференциал, получим
. (4.11)
Выражения (4.10) и (4.11) по форме похожи на формулы квадрата и куба двух величин. Это внешнее сходство дает основание для введения символической формулы для записи дифференциалов.
Рассмотрим символическое произведение
.
Формально раскроем скобку по биномиальному закону, умножим получившееся выражение на , а затем заменим каждое произведение 
частной производной 
.
Тогда 
,
,
.
Можно доказать, что имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.3. Если все производные 
-го порядка функции в области непрерывны, то она 
раз дифференцируема. При этом имеет место символическая формула
. (4.12)
Таким образом, непрерывность всех частных производных -го порядка функции в области является достаточным условием существования в области дифференциала -го порядка этой функции.
Для функции трех и более числа переменных дифференциалы высших порядков определяются и обозначаются так же, как это было сделано для функции двух переменных. Непрерывность частных производных -го порядка также остается достаточным условием существования дифференциала -го порядка. А символическая формула для нахождения дифференциала 
функции 
будет иметь вид
,
при условии, что 
– независимые аргументы.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 253; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!