Властивості паралельного перенесення

Поняття симетрії відносно точки в просторі

Означення симетрії відносно точки, відоме з планіметрії, залишається правильним і для стереометрії.

Рис.1

Рис.2

Точки

, називаються симетричними відносно точки

, якщо точка

– середина відрізка

. Перетворення, при якому кожна точка даної фігури відображається на точку, симетричну їй відносно точки

, називається симетрією відносно точки

, або центральною симетрією. На рис. 1 відрізок

при симетрії відносно точки

переходить у відрізок

. Якщо симетрія відносно деякої точки

відображає дану фігуру на ту саму фігуру, таку фігуру називають центрально-симетричною, а точку

– її центром симетрії. Наприклад, центрально-симетричною фігурою є прямокутний паралелепіпед, точка перетину його діагоналей — центр симетрії (рис. 2).

Приклад 1. Дано точку . Знайдіть координати точки , симетричної точці відносно початку координат.

Розв’язання: Оскільки точки і симетричні відносно точки , тобто точка середина відрізка . Виразимо координати середини відрізка через координати його кінців і : .

Тоді :

Отримали точку , симетричну точці відносно початку координат.

Відповідь: .

Поняття симетрії відносно прямої у просторі

Точки і ,називаються симетричними відносно прямої , якщо пряма проходить через середину відрізка і перпендикулярна до нього.

Перетворення, яке відображає кожну точку фігури на точку, симетричну їй відносно даної прямої, називається симетрією відносно прямої (або осьовою симетрією).

Поняття симетрії відносно площини

Точки і називаються симетричними відносно площини ,якщо ця площина перпендикулярна до відрізка і ділить його навпіл. Перетворення, при якому кожна точка даної фігури відображається на точку, симетричну їй відносно площини , називається симетрією відносно площини . Якщо точка лежить у площині , то вважають, що точка переходить у себе.Якщо перетворення симетрії відносно площини переводить фігуру в себе, то фігура називається симетричною відносно площини , а площина називається площиною симетрії цієї фігури.

Рух у просторі

Рухом у просторі називається перетворення, при якому зберігаються відстані між точками.

Властивості руху

· Точки, які лежать на прямій, під час руху переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

· Рух відображає пряму на пряму, промінь – на промінь, відрізок – на відрізок, що дорівнює даному.

· Рух відображає трикутник на трикутник, що дорівнює даному.

· Рух відображає площину на площину.

Дві фігури називаються рівними, якщо вони суміщаються рухом.

Паралельне перенесення в просторі

Паралельним перенесенням у просторіназивається таке перетворення, при якому довільна точка фігури переходить у точку , де числа , , — одні і ті самі для всіх точок. Паралельне перенесення в просторі задають формулами: що виражають координати , , точки, в яку переходить точка при паралельному перенесенні.

Властивості паралельного перенесення

1. Паралельне перенесення є рух.

2. У результаті паралельного перенесення точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, що збігаються) на одну й ту саму відстань.

3. У результаті паралельного перенесення кожна пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе).

4. Які б не були дві точки і , існує єдине паралельне перенесення, в результаті якого точка переходить у точку .

5. В результаті паралельного перенесення у просторі кожна площина переходить або в себе, або у паралельну їй площину.

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 76; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!