Представление результатов эксперимента
Тема занятия: Виды измерений, определение погрешностей измерений.
Прямое измерение: физическую величину измеряют с помощью прибора
Косвенное измерение: физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Инструментальная погрешность - определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода - определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели) - определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора - определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора:d=△2
Если величина a0 - это истинное значение, а △a - погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде a=a0±△a.
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:△a=|a−a0|
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: δ=△a•a0•100%
|
|
|
Относительная погрешность является мерой точности измерения:
чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
| Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: см △=b−an+1=1см 1+1=0,5см Инструментальная погрешность: см d=△2=0,52=0,25см Истинное значение: см L0=4см Результат измерений: см L=L0±d=(4,00±0,25) см Относительная погрешность: δ=0,254,00⋅100%=6,25%≈6,3% |
измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
|
|
|
· определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
· определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение величины x1,x2,…,xN
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений:x0=xcp=x1+x2+...+xNN
|
|
|
Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения:△1=|x0−x1|, △2=|x0−x2|, ..., △N=|x0−xN|
|Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений:△cp=△1+△2+...+△NN
Шаг 5. Сравниваем полученную величину △cp c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность:△x=max{△cp;d}
Шаг 6. Записываем результат серии измерений: x=x0±△x.
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений:гm0=99,8+101,2+100,33=301,33≈100,4 г Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
|
|
|
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности m0 и измерения △1=|100,4−99,8|=0,6△2=|100,4−101,2|=0,8△3=|100,4−100,3|=0,1
Находим среднее абсолютное отклонение:г△cp=0,6+0,8+0,13=1,53=0,5 (г)
Мы видим, что полученное значение △cp больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: г△m=max{△cp;d}=max{0,5;0,05} (г) Записываем результат:гm=m0±△mm=(100,4±0,5) (г) Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами):δm=0,5100,4⋅100%≈0,050%
Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде a=a0±△a, где a0 – истинное значение, △a – абсолютная погрешность измерения.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если a=a0+△a и b=b0+△b – результаты двух прямых измерений, то
· абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
△(a+b)=△a+△b
· абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
△(a−b)=△a+△b
Погрешность произведения и частного
Если a=a0+△a и b=b0+△b – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями δa=△a*a0*100% и δb=△b*b0⋅100% соответственно, то:
· относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
δa⋅b=δa+δb
· относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
δa/b=δa+δb
Погрешность степени
Если a=a0+△a результат прямого измерения, с относительной погрешностью δa=△a•a0•100%, то:
· относительная погрешность квадрата a2 равна удвоенной относительной погрешности
δa2=2δa
· относительная погрешность куба a3 равна утроенной относительной погрешности
δa3=3δa
· относительная погрешность произвольной натуральной степени an равна
δan=nδa
Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a , мл | b , мл | n | △ =b−an+1, мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | 40−204+1=4 |
| 2 | 100 | 200 | 4 | 200−1004+1=20 |
| 3 | 15 | 30 | 4 | 30−154+1=3 |
| 4 | 200 | 400 | 4 | 400−2004+1=40 |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем V0, мл | Абсолютная погрешность △ V= △ 2, мл | Относительная погрешность δV= △ VV0 ⋅ 100% |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины:ммx1=(4,0±0,1) м, x2=(4,0±0,03) мКакое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем:δ1=0,14,0⋅100%=2,5%δ2=0,034,0⋅100%=0,75% Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: δ2<δ1, второе измерение точней.
Домашнее задание:
1. Прочитать
2. Выполнить конспект
3. Решить задачу
Задача . Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!