Способы разложения многочленов на множители
Алгебра
Урок по теме: Повторение. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Ход урока
1. Основное свойство дроби.
2. Тождество.
3. Приведение дроби к заданному знаменателю.
4. Сокращение дробей.
5. Способы разложения многочленов на множители.
6. Сложение и вычитание дробей с
Прочитать материал и разобрать примеры, выполнить домашнее задание.
Основное свойство дроби
Свойства рациональных дробей и операции с ними очень похожи на свойства числовых дробей и действия с ними. Напомним известное вам основное свойство обыкновенной дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь, т. е. равенство a/b = ac/bc верно при любых натуральных значениях а, b и с.
Это равенство справедливо не только при натуральных, но и при любых других значениях переменных а, b и с, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. при b ≠ 0 и с ≠ 0. Докажем это утверждение.
Пусть дробь a/b = m. Тогда по определению частного имеем а = bm. Умножим обе части этого равенства на число с и получим ас = (bm) • с. На основании переместительного и сочетательного свойств умножения запишем: ас = (bс) • m. Так как b ≠ 0 и с ≠ 0 (т. е. bс ≠ 0), то выразим из этого равенства величину m = ac/bc. Кроме этого равенства, есть равенство m = a/b. Приравняем правые части этих выражении и получим требуемое равенство a/b = ac/bc.
|
|
|
Заметим, что основное свойство дроби выполняется и в том случае, когда с — любое ненулевое выражение.
Тождество
Уточним некоторые понятия, изученные в 7 классе. Ранее тождеством называлось равенство, которое выполнялось при любых значениях переменных. Тождествами, например, назывались все формулы сокращенного умножения и т. д. Равенство a/b = ac/bc верно при всех значениях переменных, при которых его левая и правая части имеют смысл, т. е. при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства также называют тождествами. Очевидно, что ранее данное понятие тождества является частным случаем более общего определения.
В общем случае тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными. Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.
Было доказано, что равенство a/b = ac/bc верно при всех допустимых значениях переменных. Поэтому по определению это равенство является тождеством. Такое тождество называют основным свойством дроби.
|
|
|
Приведение дроби к заданному знаменателю
Основное свойство дроби используют для ее приведения к заданному знаменателю.
Пример 1
Пример 2
Пример 3 Используем формулу разности квадратов а 2 – в 2 = (а-в)(а+в)
Заметим, что приведение дробей к заданному знаменателю используется при сложении и вычитании дробей.
Сокращение дробей
Поменяем в равенстве a/b = ac/bc левую и правую части местами и получим тождество ac/bc = a/c. Это равенство позволяет заменить дробь вида ac/bc более простой тождественно равной дробью a/c, т. е. сократить дробь ac/bc на общий множитель с числителя и знаменателя.
Пример 4
При сокращении дроби надо выделять наибольший общий множитель числителя и знаменателя. В рассмотренном примере множитель 7а2b2 были наибольшим. Для выражений 35а2b2 и 7а2b3 число 7 является наибольшим общим делителем чисел 35 и 7, а2 — множитель а в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель, b2 — множитель b также в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель. Поэтому множитель 7а2b2 — наибольший общий множитель числителя и знаменателя.
Если общий множитель числителя и знаменателя будет не наибольшим, то после сокращения на него дроби дробь может быть сокращена еще. В ответ записываем НЕСОКРАТИМУЮ дробь
|
|
|
Способы разложения многочленов на множители
Пример 5 Воспользуемся формулойа 3–в 3 =(а-в)(а 2 +ав +в 2 )
При сокращении дробей используют и другие способы разложения многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, на множители. В частности, широко используется способ группировки и вынесения общего множителя за скобки.
Пример 6
Так как и далее мы будем использовать разложение числителя и знаменателя дроби на множители, вспомним основные способы разложения многочленов на множители:
1. вынесение общего множителя за скобки;
2. группировка членов многочлена;
3. использование формул сокращенного умножения.
Напомним также формулы сокращенного умножения:
1) а2 — b2 = (а — b)(а + b) (разность квадратов двух чисел равна произведению разности и суммы этих чисел);
2) (а + b)2 = а2 + 2ab + b2 (квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа);
3) (а — b)2 = а2 — 2ab + b2 (квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа);
|
|
|
4) а3 — b3 = (а — b)(а2 + ab + b2) (разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы).
Заметим, что неполным квадратом суммы чисел а и b называется выражение а2 + ab + b2 (по аналогии с квадратом (или полным квадратом) суммы чисел а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2
5) а3 + b3 = (а + b)(а2 — ab + b2) (сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности).
Отметим, что неполным квадратом разности чисел а и b называется выражение а2 — ab + b2 (сравните с полным квадратом разности чисел а и b: (а — b)2 = а2 — 2ab + b2
6) (а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3 (куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа);
7) (а — b)3 = а3 — 3а2b + 3ab2 — b3 (куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!