Правило отыскания экстремумов функции

Практическое занятие №10 «Исследование функций на экстремум »

Порядок выполнения работы.

1. Внимательно изучите теоретическую справку по теме.

2. Выполните разбор примеров 1-3.

Теоретическая справка

1. Находим область определения D(f) функции y = f ( x ).

2. Проверяем функцию на четность.

Если f (- x ) = f ( x ), то функция четная, график функции симметричен относительно оси OY.

Если f (- x ) = - f ( x ), то функция нечетная, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.

3. Если функция периодическая, то находим период функции.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (O x ).

Для этого мы решаем уравнение f ( x ) = 0 .

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (O y ). Для этого ищем значение функции при x =0.

5. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нам нужно решить неравенства f ( x ) >0 и f ( x ) <0 .

6. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения

- это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

7. Найти значения функции в точках экстремума.

8. По данным исследования построить график функции.

Пример 1. Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.

Решение.

1) D(f): R

2) Проверим функцию на чётность/нечётность:

, значит, данная функция не является чётной или нечётной.

3) Функция непериодическая.

4) Нули функции.

С осью О y:

Чтобы найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) требуется решить уравнение f( x) = 0:

5) Таким образом, на интервалах график расположен ниже оси абсцисс f ( x )<0, а на интервалах – выше данной оси f ( x ) >0.

6) Возрастание, убывание.

Найдём критические точки:

Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
1
Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
7). Экстремумы функции

точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»

. точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».

8).

: .

9) Строим график функции.

Пример 2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

 

Решение. На отрезке [-7;-3] график производной расположен ниже оси Ох, это означает, что , то есть сама функция на данном отрезке монотонно убывает. Таким образом, убывающая функция принимает наибольшего значения на левом конце промежутка, то есть в точке x=-7.

Ответ. -7.

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

• Найти производную функции.
• Определить критические точки (те точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует).
• Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку.
• Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках и на концах отрезка.
• Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 3. Найдите наименьшее значение функции y = x³ – 18x² + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

1) y’ = 3x² – 36x + 81.

2) y’ = 3x² – 36x + 81 = 0

x² – 12x + 27 = 0,

x = 3 и x = 9

3)  x = 9  [8; 13].

4) y = x³ – 18x² + 81x + 23 = x(x-9)²+23:

o y(8) = 8 · (8-9)²+23 = 31;

o y(9) = 9 · (9-9)²+23 = 23;

o y(13) = 13 · (13-9)²+23 = 231.

Ответ. ;

Правило отыскания экстремумов функции

1. Найти нули и точки разрыва f ’(x);

2. Определить методом проб знак f ’(x) в интервалах, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f (x);

3. Из этих точек выделить те, в которых функция f(x) определена и по разные стороны от каждой из которых производная f ’(x) имеет разные знаки – это и есть экстремальные точки; при этом экстремальная точка х = х₀ является точкой максимума если в этой точке происходит смена знака с « + » на « - », и точкой минимума – с « - » на « + ».

 

---

Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 53; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!