ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

ОД.10 Математика

Тема: Построение графиков функции.

Вид занятия: Практическое занятие

Цель занятия	учебная	Проверить знания и практические умения студентов при построении графиков функции, простейших преобразований графиков функции, нахождение обратных функций.
Цель занятия	воспитательная и развивающая	Обеспечить высокую творческую активность при выполнении практической работы.
Межпредметные связи	обеспечивающие	Математика (школьный курс)
Межпредметные связи	обеспечиваемые	Физика, техническая механика, экономика, курсовое и дипломное проектирование

Обеспечение урока:

Использование ИКТ (информационно – коммуникационных технологий)

(мультимедийные презентации, проекционное оборудование, интерактивная доска, персональный компьютер, компьютерное тестирование)

Математика в Открытом колледже http://www.mathematics.ru

Наглядные пособия и раздаточный материал: методические указания для практической работы №4

Литература: Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: Просвещение, 2012

Цель работы:

Построение графиков функции, преобразование графиков функции, нахождение обратных функций.

Понятие об обратной функции

Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией.

Например, линейная функция будет являться обратимой функцией. А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Обратная функция

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.

Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g – есть обратная функция к f.

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Выведем следующую теорему:

если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима.

Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией.

Данная теорема называется теоремой об обратной функции.

Простейшие преобразования графиков функций

1)
y = f ( x ) + b – график функции получается из графика функции y = f(x) путем параллельного переноса этого графика на величину вдоль от ОУ. при этом, если b>0, то график функции f(x) + b располагается выше графика функции f(x), если b<0, то ниже этого графика.

2) y = f ( x + b ) – график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью параллельного переноса этого графика на величину b вдоль оси ОХ, при этом, если b>0, то сдвиг влево, а если b<0, то сдвиг вправо.

3) y = - f(x) – график симметричен графику y = f(x) относительно оси ОХ

Указанные преобразования не изменяют масштаба графика функции.

Рассмотрим преобразования графиков функций, которые изменяют масштаб графика

4) y = аf(x) – график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью растяжения или сжатия графика по оси ОУ пропорционально коэффициенту а, причем,

если a > 1, то все ординаты графика аf(x) увеличиваются в а раз, если a < 1, то уменьшаются в а раз.

5) y = f(аx) – график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью растяжения или сжатия вдоль оси ОХ пропорционально коэффициенту а, причем, если, а > 1, то график сжимается в а раз, если 0 < a <1, то растягивается в 1/а раз.

6) у = - для построения этого графика нужно построить график функции y = f(x) и отобразить относительно оси ОХ те части графика, которые расположены ниже этой оси.