Сколько асимптот может быть у графика функции?
Лекционный материал.
Определение асимптот функции. Вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты.
Нахождение асимптот графика – одна из немногих частей указанного задания, которая освещается в школьном курсе лишь в обзорном порядке, поскольку события вращаются вокруг вычисления пределов функций, а они относятся всё-таки к высшей математике. Примеры асимптот встретились сразу же на первом уроке о графиках элементарных функций, и сейчас тема получает детальное рассмотрение.
Итак, что такое асимптота?
Представьте переменную точку, которая «ездит» по графику функции. Асимптота – этопрямая, к которой неограниченно близко приближается график функции при удалении его переменной точки в бесконечность.
Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.
Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.
На плоскости асимптоты классифицируют по их естественному расположению:
Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по-своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три... и бесконечно много. У каждой функции по-разному.
|
|
|
Вертикальные асимптоты
Вертикальные асимптоты, которые задаются уравнением вида 
, где «альфа» – действительное число. Популярная представительница 
определяет саму ось ординат,
вспоминаем гиперболу 
.
Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.
Горизонтальные асимптоты
Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна y=y0 как показано во втором столбце таблицы
Наклонные асимптоты
Наклонные асимптоты традиционно записываются уравнением прямой с угловым коэффициентом 
. Иногда отдельной группой выделяют частный случай –горизонтальные асимптоты 
. Например, та же гипербола с асимптотой 
.
Наклонная асимптота представляется в виде y=kx+b. Где k - это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент k, затем b. Если какой-либо из них равен ∞, тогда наклонной асимптоты нет. А если b=0, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.
|
|
|
Сколько асимптот может быть у графика функции?
Ни одной, одна, две, три,… или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса – бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!