Основные правила дифференцирования:
ЛИТЕРАТУРА
1. Яковлев Г.Н Математика для техникумов Алгебра и начала анализа . М., 1988 Часть 1.
2. Яковлев Г.Н Математика для техникумов Алгебра и начала анализа . М., 1988 Часть 2.
3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс, М – 2003 г.
4. Калбергенов Г.Е. Математика в таблицах и схемах М-2004 г.
5. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 1990.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1, 2 – М.: Айрис Пресс, 2002
Лекционный материал.
Определение производной
Определение. Аргумент - это независимая переменная величина (х).
Определение. Функция - это зависимая переменная величина (у).
Пример. Движение характеризуют переменные величины: t–время, S- расстояние, V-скорость.
t- время – это независимая величина, для математики – это аргумент.
S – расстояние- это зависимая переменная величина, для математики – это функция.
V- скорость при движении может быть переменной и может быть постоянной величиной.
Рассмотрим пример движения поезда. Например, поезд идет из Владивостока в Москву. Мы решили определить его скорость. Сели в Красноярске, вышли в Ачинске и говорим, что расстояние 180км мы проехали за 3 часа.
Получается, что скорость поезда V= 
Но на этом пути было несколько остановок, когда на прямолинейном участке пути она была и 80 и 90 км/час в близи вокзалов при остановке и при отправлении была разной: и 1и 2, и 5 и 10 ( км/час). А мы говорим, что скорость поезда 60(км/час)
|
|
|
- О какой скорости идет речь?
Мы говорим о средней скорости:
- То есть, чтобы найти среднюю скорость, надо отрезок пути разделить на соответствующий отрезок времени.
Vср.= 
- А теперь вспомним: какая скорость называется мгновенной?
- Мгновенная скорость – это средняя скорость за очень маленький промежуток времени, близкий к нулю.
Т.е. 
.
А теперь введем в формулу мгновенной скорости
∆t 
0 математические обозначения.
Т.к. расстояние S для математики- это функция, то обозначим отрезок пути вместо ∆S знаком ∆у.
Т.к. время t для математики аргумент, то отрезок времени Δt обозначим за Δх.
- А чем же для математики является мгновенная скорость?
- Скорость для математики является производной и обозначается у’ или f’(х). ( читается игрек штрих или эф штрих от икс).
- Итак, формулу мгновенной скорости мы теперь можем записать в математическом виде:
Это и есть формула производной.
Отрезок 
можно считать точкой.
Определение. Производной функции f в точке x0 называется отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
На приращение функции 
f = f(x0)+ x ) – f(x0),
|
|
|
Поэтому формулу производной можем записать в виде :
(*)
Правила нахождения производных.
| C ' =0, | 
|
| x ' =1, | 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Основные правила дифференцирования:
Производная суммы (разности):
(u+v)' =u' + v' ,
Пример1. Найти производную функции y = sin(x) + x3
Р е ш е н и е:
Имеем y' = (sin(x) + x3)' = cos(x) + 3x2
Пример 2. Найти производную функции y = ln(x) + arctg(x)
Р е ш е н и е: Имеем
Постоянный множитель выносится за знак производной
(Cu)' =C u',
Производная произведения
Пусть функция представляет собой произведения двух функций u и υ.
u - y υ-вэ.
(u*υ)’=u’*υ+u*υ’
Производная сложной функции
Если функция f имеет производную в точке xo, а функция g имеет производную в точке yo = f(xo), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке xo, причем:
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 28; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!