Следствия из аксиом стереометрии.
Мы начинаем ГЕОМЕТРИЮ
Тема: Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
Мотивация изучения темы.
Мы продолжаем изучать предмет «геометрия», но, мы выходим на другой уровень геометрии – стереометрию. Сегодня нам предстоит узнать, почему этот раздел изучается отдельно, какие задачи нам предстоит решать и, наконец, с помощью каких теоретических основ эти задачи будут решаться.
Цели занятия:
Обучающая: ознакомить с содержанием курса стереометрии; изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве; ознакомить со следствиями из аксиом; научить применять аксиомы стереометрии при решении задач; научить применять следствия из аксиом при решении задач;
Развивающая: способствовать развитию умения принимать самостоятельные решения; развитию познавательной активной деятельности студентов; развивать умение сравнивать, обобщать, анализировать; пространственное мышление при решении задач; развивать коммуникативный компонент у обучающихся; объективность в оценке и самооценке результатов работы.
Воспитательная: воспитывать чувство исполнительности и аккуратности; умение управлять эмоциями; воспитывать у студентов коммуникабельные качества, уважительное отношение к мнению товарищей.
Межпредметные связи – анатомия, физика.
Литература: Л.С.Атанасян « Геометрия 10-11 класс», учебник для общеобразовательных учреждений .-М.: Просвещение, 2012г.
|
|
|
Тип урока: комбинированный урок
Изучение нового материала:
Решите следующую задачу-головоломку:
сложите шесть карандашей так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине карандаша.
Дает время для ее решения. Если никто из студентов не смог предложить верный вариант, то преподаватель сообщает, что для решения данной задачи необходимо выйти в пространство и сложить карандаши в виде пирамиды. Демонстрирует решение. Говорит, что невозможно на плоскости, оказывается возможным в пространстве.
1. Возникновение и развитие геометрии.
Для удовлетворения непрерывно возрастающих потребностей человеческого общества, возникла и развивалась геометрия.
Геометрия – одна из древнейших наук. Она зародилась в Древнем Египте свыше 4000 лет назад.
В Древнем Египте плодородные земли были расположены на очень узком участке земли – в долине реки Нил. Каждую весну Нил разливался и удобрял землю плодородным илом. Но при разливе реки смывались границы участков, менялись их площади. Тогда пострадавшие обращались к фараону, он посылал землемеров, чтобы восстановить границы участков, выяснить, как изменилась их площадь и установить размер налога.
|
|
|
Ремесленникам необходимо было изготавливать посуду, строителям - подбирать камни различной формы для строительства храмов и пирамид, астрономам – измерять углы для определения положения звезд.
Так как в основном речь шла о земельных участках и различных измерительных работах, то древние греки, узнавшие от египтян об этой науке, назвали ее геометрия, т.е. землемерие.
Древние египтяне были замечательными инженерами. Об этом свидетельствуют всем известные египетские пирамиды. Но геометрии как науки у них не было.
Большую лепту в развитие геометрии внесли вавилонские ученые. Около 6000 лет назад они изобрели колесо, научились измерять длину окружности. Они были замечательными астрономами.
Настоящей наукой геометрия стала только у древних греков. Греки не только заметили свойства «египетского «треугольника, но и сделали интересное открытие.
Две с половиной тысячи лет назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Греческий математик Фалес научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени.Полагают, что Фалесу принадлежит первое доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и некоторые другие теоремы начальной геометрии. Древние греки приписывали Фалесу первое в истории науки предсказание солнечного затмения, которое произошло якобы точно в срок, предсказанный Фалесом (28 мая 585г. до н. э.)
|
|
|
Много практических задач решил греческий ученый и изобретатель Архимед. Он определил, что объем вписанного шара равен 2\3 объема цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на могильном камне вырезали чертеж этой задачи: шар в цилиндре. Потом, 200 лет спустя, по этому чертежу нашли могилу Архимеда.
Ученый древней Греции Евклид собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал по стереометрии. К 300-м годам до н. э. геометрия становится самостоятельной математической наукой. К этому времени ученый Евклид написал книгу, названную им «Начала».
В «Началах» Евклид развил аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формируются основные положения (аксиомы). Из них путем последовательных рассуждений сумел вывести все теоремы геометрии. «Начала» Евклида более полутора тысяч лет переписывались от руки в Греции, Италии и других странах. С возникновением книгопечатания «Начала» сотни раз перепечатывались на всех языках мира.
|
|
|
В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая в «Началах» Евклида называлась пятым постулатам: «Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых, при продолжении в туже сторону пересекаются».
Эта аксиома параллельности – с самого начала показалась не совсем очевидной. Попытки доказать пятый постулат длились около 2000 лет.
174 года назад великий русский ученый Николай Иванович Лобачевский пришел к выводу, что аксиома параллельности Евклида не может быть доказана. Лобачевский заменил пятый постулат новым предложением: через точку вне данной прямой и в одной с ней плоскости можно провести более чем, одну прямую, не пересекающую данную прямую». Он показал, что это предложение ведет не к противоречию, а своеобразной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида. Лобачевского высмеивали, но это не заставило великого ученого отказаться от своих идей. Через 12 лет после его смерти была найдена поверхность, на которой справедлива новая геометрия.
Геометрия Евклида – геометрия земных пространств и расстояний. Геометрия Лобачевского – геометрия гигантских межпланетных и исчезающих малых атомных пространств, она включает геометрию Евклида как составную часть, как частный случай.
Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией творений природы и человека. В стереометрии исследуются математические модели тех материальных объектов, с которыми ежедневно имеют дело строители, токари, фрезеровщики, конструкторы, архитекторы. Без знаний стереометрии невозможно построить дом, машину, завод, невозможно правильно вести самолет, запустить ракету, исследовать строение вещества.
Введение в стереометрию.
Вы с 7 класса начали знакомиться с курсом геометрии. С 7 по 9 классы вы изучали первый раздел геометрии – планиметрию. Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.
Геометрия – часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел. (от греч. ge - земля и metreo - измеряю).
Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур, расположенных в пространстве. (от греч. «стерео» - объемный и «метрия» - измерения).
Основные понятия планиметрии: точка, прямая.
Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость.
Такие понятия, как «точка», «прямая», «плоскость» вводят без определений и называют основными (неопределяемыми) понятиями.
Рассмотрите модели геометрических фигур и попробуйте увидеть, из каких самых простых объектов они составлены. Вершины геометрических тел можно рассматривать как точки. Точка – это идеализированный маленький объект, размером которого можно пренебречь. Евклид определял точку как то, что не имеет частей. Точки на чертежах обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …
Стороны многоугольников, ребра многогранников, отрезки представляют собой части прямых. Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, …
Плоские грани многогранников – это части плоскостей. Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ,...
Аксиомы стереометрии.
Свойства неопределяемых понятий раскрывают с помощью аксиом.
Аксиома – положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности.
Далее мы сформулируем аксиомы стереометрии.
Аксиома1:
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.
ВОПРОСЫ:
-сколько плоскостей можно провести через три точки?
-всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
Аксиома 2:
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
ВОПРОСЫ:
-верно ли: если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
- если три точки окружности лежат в плоскости, то …?
Аксиома 3:
Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Следствия из аксиом стереометрии.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!