Векторное произведение двух векторов.
Определение. Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор
(обозначаемый иначе 
), удовлетворяющий следующим условиям:
1. 
, где j-угол между векторами 
;
2. 
^ и ^ 
3. 
вектор 
относительно векторов 
и направлен так же, как координатная ось OZ относительно координатных осей OX и OY, т.е. векторы 
образуют правую тройку векторов (это значит, что если векторы 
приведены к общему началу, то вектор 
должен быть направлен так, чтобы из его конца наблюдался кратчайший поворот первого вектора ко второму, причем этот поворот осуществлялся бы против хода часовой стрелки:
Основные свойства векторного умножения:
1. Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, т.е.
.
2. 
, если 
коллинеарны 
.
3. 
(сочетательный закон).
4. 
(распределительный закон).
5. 
Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах 
Если векторы 
заданы своими координатами
то векторное произведение вектора 
на вектор определяется формулой:
или, (10)
если разложить определитель по элементам первой строки:
(10/)
(11)
Пример 8. Упростить: 
Решение.
Пример 9. Вычислить 
если известно, что 
и векторы и векторы 
образуют угол j=p/3.
Решение .
Пример 10. Векторы 
образуют угол j=p/6.
Зная, что 
вычислить: 
.
Решение.
Пример 11. Даны векторы 
Найти координаты вектора 
Решение. Найдем координаты векторов-сомножителей:
Таким образом вектор 
имеет следующие координаты:
Смешанное произведение трех векторов.
Определение. Смешанным произведением трех векторов 
называется число, равное векторному произведению 
умноженному на вектор , т.е. 
.
Свойства смешанного произведения:
1. 
если
а) все три вектора компланарны;
б) любые два вектора коллинеарны.
2. 
3. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.
4. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т.е.
Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах:
Vпарал.= 
(12)
 |
Если векторы 
заданы своими координатами
, то смешанное произведение определяется формулой:
.
Пример 12. Даны три вектора
Найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Решение.
Пример 13. Выяснить, компланарны ли векторы
Решение. По 1 свойству смешанного произведения, если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Проверим это для наших векторов.
Контрольные вопросы
1. Что называется вектором и модулем вектора?
2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?
3. Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки А пространства. Где находятся концы этих векторов?
4. Как определяется декартова система координат?
5. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?
6. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?
7. Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат.
8. Что называется векторным и смешанным произведением двух векторов, каковы их свойства?
Рекомендуемая литература
1. Высшая математика для экономистов : учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремер. – 3-е изд. – Москва : ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с.
2. Комогорцев, В. Ф. Математика: учебное пособие для бакалавров / В.Ф. Комогорцев. – Брянск. Изд-во Брянский ГАУ, 2020. – 258 с.
3. Кузнецова С.Н. Конспект лекций для студентов экономических специальностей. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / С.Н. Кузнецова, М.В. Лукина. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. – 72 с.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 27; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!