Линейные неоднородные тригонометрические уравнения
ТРИГОНОМЕТРИЯ.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Метод разложения на множители
Метод разложения на множители заключается в следующем: если
,
то всякое решение уравнения
(1.1)
является решением совокупности уравнений:
(1.2).
Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (1.2) является решением уравнения (1.1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений совокупности (1.2) могут не входить в область определения функции 
. Поэтому, при решении тригонометрического уравнения необходимо учитывать область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые в нее входят.
При решении тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители очень часто необходимо преобразовать сумму или разность тригонометрических функций в произведение.
Пример. Решите уравнение
.
Решение.
Ответ: 
; 
; 
.
Метод замены переменной
Данный метод позволяет с помощью введения новой переменной, свести решение тригонометрического уравнения к решению алгебраического уравнения.
Пример. Решите уравнение
Решение.
Замена: 
, 
t1 = -1/2, t2=4/3
, 
.
Ответ: 
,
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Решение многих тригонометрических уравнений, содержащих функции в четных степенях, основано на применении формул понижения степени:
|
|
|
Очень часто эти формулы применяются в виде:
Пример. Решите уравнение
.
Решение
; 
; 
Ответ: 
.
Уравнения, однородные относительно синуса и косинуса
Определение. Уравнение вида 
, где 
называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Определение. Уравнение вида 
, где 
называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Однородные уравнения первой степени.
Чтобы решить однородное уравнение вида
, где 
нужно обе его части разделить на 
или 
, получив простейшее тригонометрическое уравнение
или 
.
В случае, когда один из коэффициентов, а либо b, равен нулю, однородное уравнение первой степени сводится к простейшему тригонометрическому уравнению
или 
.
Однородные уравнения второй степени.
I. Однородное уравнение второй степени
, где 
,
делится на 
либо на 
и приводится к квадратному уравнению
или 
,
которые решаются методом замены переменной, полагая 
или 
.
|
|
|
II. Если 
, 
, уравнение имеет вид:
,
уравнение делится на либо на и приводится к виду:
или 
.
III. Если 
, 
, уравнение имеет вид:
.
Решается методом разложения на множители, и сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения и однородного уравнения первой степени:
IV. Если 
, 
, уравнение имеет вид:
.
Решается аналогично случаю III:
Пример. Решите уравнение
.
Решение
Разделим на обе части уравнения (т.к. не является решением уравнения, то без потери корней можем считать ):
; 
; 
.
Ответ: 
.
Пример. Решите уравнение
Решение.
Разделив обе части уравнения на , получим уравнение:
.
Замена: 
Ответ: 
, 
.
Линейные неоднородные тригонометрические уравнения
Определение. Уравнение вида 
, где 
, называется неоднородным тригонометрическим уравнением.
Рассмотрим методы решения таких уравнений.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 49; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!