Пример построения функции от ДСВ

Пример: Случайная величина X задана функцией распределения

x	1	2	3	4
p(x)	0,2	0,3	Р₃	0,1

Найти вероятность р₃. Построить функцию распределения. Найти числовые характеристики с.в.

Решение:

Проверим тождество 0,2+0,3+р₃+0,1=1. р₃=0,4.

Построим функцию распределения этой случайной величины.

Имеем:

Итак,

Примеры дискретных распределений

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью p , следовательно, не наступает с постоянной вероятностью q = 1- p . Рассмотрим случайную величину X — число появления события A в этих n испытаниях. Возможными значениями X являются x₁ = 0 , x₂ = 1,…, x_n+1= n . Вероятность этих возможных

значений определяется по формуле Бернулли

Получили закон распределения

Этот закон распределения называется биномиальным.

Распределение Пуассона

Если решить предыдущую задачу при условии, что число испытаний n велико, а вероятность p появления события A в каждом испытании мала, то можно получить формулу

Эта формула выражает закон распределения Пуассона для массовых ( n велико) и редких (p мало) событий. Существуют таблицы для определения Pn (k)

ПРИМЕР 1.Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут: а) три негодных изделия; б) не более трёх повреждённых изделия.

Решение: по условию n=5000, p=0,0002. Найдём .

а) k = 3. Искомая вероятность по формуле Пуассона приближённо равна

б) Пусть случайная величина Х – число изделий, повреждённых в пути, то есть . Очевидно, что данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Следовательно, искомую вероятность можно вычислить по формуле

Но, так как , то по свойству 3^о можем воспользоваться законом распределения Пуассона, то есть, можем записать:

Замечание. По формуле Пуассона можно вычислить вероятность того, что число событий, происшедших за время равно , если события образуют пуассоновский поток, причём – интенсивность потока, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени:

ПРИМЕР 2. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течении которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

Решение: Найдём, прежде всего, – среднее число вызовов за 1 секунду:

Тогда, при , получим:

Контрольные вопросы:

1. Что называется случайной величиной (СВ)?

2. Виды СВ?

3. В чём состоит закон распределения дискретных случайных величин?

4. В чём состоит биномиальный закон распределения случайных величин?

5. В чём состоит закон распределения Пуассона случайных величин?

Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!