Способ. Тригонометрическая подстановка.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример :

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Пример :

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример :

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)

1) Если а>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой

2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x₁)(x – x₂), то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а l - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

Итого =

Пример.

Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Пример.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через

элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

1) - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

2) - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

3) - интегральный логарифм

4) - приводится к интегральному логарифму

5) - интегральный синус

6) - интегральный косинус

Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

0 a x_i b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, … ,x_n – x_n_-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁] ® m₁, M₁; [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

Составим суммы:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n=

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, … , x_n_-1 < e < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_i D x_i £ f( e _i) D x_i £ M_i D x_i

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим max D x_i – наибольший отрезок разбиения, а min D x_i – наименьший. Если max D x_i ® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что max D x_i ® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

Доказательство: В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число eÎ [a, b], что если

и m = f(e), а a £ e £ b, тогда . Теорема доказана.

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что

Вычисление определенного интеграла.

Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

Интегрирование по частям.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

Приближенное вычисление определенного интеграла.

Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

Формула прямоугольников.

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x₀, x₁, … , x_m, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …. , y_n = f(x_n).

Составим суммы: y₀Dx + y₁Dx + … + y_n_-1Dx

y₁Dx + y₂Dx + … + y_nDx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

Тогда или

- любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

Формула трапеций.

Эта формула является более точной по

у сравнению с формулой прямоугольников.

Подинтегральная функция в этом случае

заменяется на вписанную ломаную.

y₁ у₂ у_n

a x₁ x₂ b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

0 х₀ х₁ х₂ х₃ х₄ х

Уравнения этих парабол имеют вид Ax² + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(1)

Обозначим .

Если принять х₀ = -h, x₁ = 0, x₂ = h, то (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (2) примет вид:

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

По формуле Симпсона получим:

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)	2.828	3.873	4	4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая вычисляет любой определенный интеграл всеми рассмотренными выше методами.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.

Разложение функции cosx имеет вид:

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

Теперь представим наш интеграл в виде:

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами.) Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).

Итак:

Итого, получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая вычисляет любой определенный интеграл с помощбю степенных рядов и выводит подробный отчет о ходе решения.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥).

Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

- интеграл сходится

Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и ³ .

Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.

Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции.

Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то

Если интеграл существует, то интеграл - сходится, если интеграл не существует, то - расходится.

Если в точке х = а функция терпит разрыв, то .

Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то

Таких точек внутри отрезка может быть несколько.

Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.

Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

+ +

0 a - b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Нахождение площади криволинейного сектора.

r = f(j)

О r

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Подробнее о полярной системе координат и ее связи с декартовой прямоугольной системой координат см. Полярная система координат. “Курс высшей математики. Часть 1.”

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

Вычисление длины дуги кривой.

y y = f(x)

DS_i Dy_i

Dx_i

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать (см. Интегрируемая функция.), что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции (см. Производная фунции, заданной параметрически.), получаем

где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x² + y² = r².

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r²cos²j + r²sin²j = r², т.е. функция r = f(j) = r, тогда

Вычисление объемов тел.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Q(x_i-1)

Q(x_i)

a x_i-1 x_i b x

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х_i разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [x_i_-1, x_i] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_iDx_i и m_iDx_i здесь Dx_i = x_i - x_i_-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

R y

-R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

Q S

x H x

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Площадь поверхности тела вращения.

М_i B

x_i

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M₀, M₁, M₂, … , M_n. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x_i и y_i. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DP_i. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь DS_i – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к отношению .

Получаем:

Тогда

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …) ³ f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …) £ f(x, y, …)

тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка

N₀(x₀, y₀, …) такая, что f(x₀, y₀, …) = m.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х₁, y₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D_xz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Полное приращение и полный дифференциал.

Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

Определение. Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Пример. Найти полный дифференциал функции

Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

j N₀

касательная плоскость

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+Dх, у₀+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассмотренный выше пример для произвольной функции трех переменных.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Частные производные высших порядков.

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:

Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

…………………

Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая находит все производные до второго порядка включительно для функции двух переменных.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

то точка М₀ называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2) Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая находит критические точки функции двух переменных, определяет характер экстремума, находит значение функции в точках экстремума.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Условный экстремум.

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

=0 (1)

Кроме того:

(2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Производная по направлению.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М₁( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М₁ вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками М и М₁ на векторе обозначим DS.

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

M₁

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

где величины e₁, e₂, e₃ – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

Из этого уравнения следует следующее определение:

Определение: Предел называется производной функции u( x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами ( x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример. Вычислить производную функции z = x² + y²x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .

Далее определяем модуль этого вектора:

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Градиент.

Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая находит градиент и производную по направлению для любой функции трех переменных в любой точке.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Связь градиента с производной по направлению.

Теорема: Пусть задана функция u = u( x, y, z) и поле градиентов

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора gradu на вектор .

Доказательство: Рассмотрим единичный вектор и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов и gradu.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

Т.е. . Если угол между векторами gradu и обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор .

Теорема доказана.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

Кратные интегралы.

Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Двойные интегралы.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

0 x

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D_i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f( x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует.

Теорема. Если функция f( x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла.

3) Если D = D₁ + D₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f₁(x, y) £ f₂(x, y), то .

7) .

Вычисление двойного интеграла.

Теорема. Если функция f( x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, ( a < b), y = j( x), y = y( x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

y y = y(x)

y = j(x)

a b x

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

0 2 x

Теорема. Если функция f( x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d ( c < d), x = F( y), x = Y( y) ( F( y) £ Y( y)), то

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

y = x

0 x

Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

Пример. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая вычисляет двойной интеграл от любой функции.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Замена переменных в двойном интеграле.

Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j₁(x) до j₂(х).

Положим х = f(u, v); y = j(u, v)

Тогда dx = ; dy = ;

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

, т.е.

пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и j(u, v).

(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)

Тогда

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:

При этом известно, что

В этом случае Якобиан имеет вид:

Тогда

Здесь t - новая область значений,

Тройной интеграл.

При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

Здесь х₁ и х₂ – постоянные величины, у₁ и у₂ – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z₁ и z₂ – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Пример. Вычислить интеграл

Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе. См. Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Рассмотрим эти преобразования подробнее.

Цилиндрическая система координат.

q x

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

Итого:

Сферическая система координат.

0 q x

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

y = j(x)

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

3) Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

z = f(x, y)

x₁ y₁ x₂

y₂

V =

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x²+ y² = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x₁ = -1; x₂ = 1;

4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох:

- относительно оси Оу:

- относительно начала координат: - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).

7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z₁и z₂ – функции от х и у или постоянные, у₁ и у₂ – функции от х или постоянные, х₁ и х₂ – постоянные.

8) Координаты центра тяжести тела.

9) Моменты инерции тела относительно осей координат.

10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

11) Момент инерции тела относительно начала координат.

В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

- в декартовых координатах: dv = dxdydz;

- в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

- в сферических координатах: dv = r²sinjdrdjdq.

12) Вычисление массы неоднородного тела.

Теперь плотность w – величина переменная.

Содержание КВМ Часть 1.

Содержание КВМ Часть 3.

Содержание КВМ Часть 4.

Содержание:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Односторонние производные функции в точке.

Основные правила дифференцирования.

Производные основных функций.

Производная сложной функции.

Логарифмическое дифференцирование.

Производная показательно – степенной функции.

Производная обратной функции.

Дифференциал функции.

Геометрический смысл дифференциала.

Свойства дифференциала.

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.

Формула Тейлора.

Формула Лагранжа.

Формула Маклорена.

Представление функций по формуле Тейлора.

Бином Ньютона.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Теоремы о среднем.

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа.

Теорема Коши.

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Производная и дифференциалы высших порядков.

Правила нахождения производных.

Исследование функций.

Возрастание и убывание функций.

Точки экстремума.

Критические точки.

Достаточные условия экстремума.

Исследование функций с помощью производных высших порядков.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Асимптоты.

Схема исследования функций.

Векторная функция скалярного аргумента.

Уравнение касательной к кривой.

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.

Уравнение нормальной плоскости.

Параметрическое задание функции.

Окружность.

Эллипс.

Циклоида.

Астроида.

Производная функции, заданной параметрически.

Кривизна плоской кривой.

Угол смежности.

Средняя кривизна.

Кривизна дуги в точке.

Радиус кривизны.

Центр и круг кривизны.

Эволюта и эвольвента.

Свойства эволюты.

Кривизна пространственной кривой.

Годограф.

Главная нормаль.

Вектор и радиус кривизны.

Формулы Френе.

Соприкасающаяся плоскость.

Бинормаль.

Кручение кривой.

Интегральное исчисление.

Первообразная функция.

Неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов.

Непосредственное интегрирование.

Способ подстановки.

Интегрирование по частям.

Интегрирование элементарных дробей.

Рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Метод неопределенных коэффициентов.

Метод произвольных значений.

Интегрирование тригонометрических функций.

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегрирование иррациональных функций.

Биноминальные дифференциалы.

Тригонометрическая подстановка.

Подстановки Эйлера.

Метод неопределенных коэффициентов.

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Эллиптические интегралы.

Интеграл Пуассона.

Интеграл Френеля.

Интегральный логарифм.

Интегральный синус и косинус.

Определенный интеграл.

Интегральная сумма.

Интегрируемая функция.

Свойства определенного интеграла.

Теорема о среднем.

Обобщенная теорема о среднем.

Вычисление определенного интеграла.

Теорема Ньютона – Лейбница.

Замена переменных в определенном интеграле.

Интегрирование по частям.

Приближенное вычисление определенного интеграла.

Формула прямоугольников.

Формула трапеций.

Формула парабол (Симпсона).

Несобственные интегралы.

Абсолютная сходимость интеграла.

Интеграл от разрывной функции.

Нахождение площадей плоских фигур.

Нахождение площади криволинейного сектора.

Вычисление длины дуги кривой.

Вычисление объемов тел по поперечным сечениям.

Вычисление объемов тел вращения.

Площадь поверхности тела вращения.

Функции нескольких переменных.

Предел.

Непрерывность.

Наибольшее и наименьшее значения.

Частное приращение.

Частная производная.

Геометрический смысл частных производных.

Полное приращение и полный дифференциал.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимые условия экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Условный экстремум.

Функция Лагранжа.

Производная по направлению.

Направляющие косинусы.

Градиент.

Связь градиента с производной по направлению.

Кратные интегралы.

Двойные интегралы.

Условия существования двойного интеграла.

Свойства двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла.

Замена переменных в двойном интеграле.

Якобиан.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Тройной интеграл.

Замена переменных в тройном интеграле.

Цилиндрическая система координат.

Сферическая система координат.

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

Ó Ларин Александр Александрович 2000 год. mailto: aalar@yandex.ru

Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!