Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2019/20 уч.г.
Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2019/20 уч.г.
Математика, 7 класс, решения
Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35
Вариант 1. Все задания по 7 баллов.
Критерии оценивания заданий.
| Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
| 7 | Полное (верное) решение. |
| 6-7 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
| 5-6 | Решение в целом верное. Однако не рассмотрены отдельные случаи, либо решение содержит ряд ошибок, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка+пример» верно получена оценка. |
| 2-3 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи, или в задаче типа «оценка+пример» верно построен пример. |
| 1 | Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении). |
| 0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
| 0 | Решение отсутствует. |
*Указания к оцениванию задач содержатся также в комментариях к решениям.
1. Число называется палиндромом, если его запись одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например, 
или 
). Лена задумала трехзначный палиндром, прибавила к нему число 
и получила четырёхзначный палиндром. Какое число задумала Лена?
Ответ. 
.
Решение. Обозначим число, задуманное Леной, за 
. Ясно, что 
не превосходит 
, следовательно, 
не превосходит 
. С другой стороны, не меньше 
. Единственный палиндром между числами и – это число 
(потому что его первая цифра обязательно 
, а вторая – обязательно 
, поэтому третья и четвертая – это 
). Отсюда 
, и 
.
|
|
|
Комментарий. Только ответ – 2 балла. Сформулирована, но не доказана оценка, что трехзначный палиндром не меньше 958 (либо четырехзначный не больше 1041) –снимать 2 балла. Сформулировано, но не пояснено утверждение, что в интервале от 958 до 999 подходит только 959 – снимать 1 балл. Арифметические (вычислительные) ошибки, прочие недочеты – снимать 1 балл.
2. Разрежьте фигуру двумя прямыми на 
частей.
Решение. Например, так (см. рисунок).
Комментарий. Приведен верный пример, то есть, изображена фигура и показано, как её разрезать на 6 частей – 7 баллов. Есть только рассуждения, как надо провести прямые, но рисунок отсутствует – 1- 2 балла. Приведен только пример, в котором условие не выполняется – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.
3. Никита сложил два последовательных натуральных числа, Семён сложил четыре последовательных натуральных числа, Денис сложил шесть последовательных натуральных чисел. У всех мальчиков оказались равные суммы. Однако двое сложили свои числа правильно, а один – нет. Кто из них ошибся?
|
|
|
Ответ. Семён.
Решение. Сумма двух последовательных натуральных чисел нечётна. Сумма четырёх последовательных натуральных чисел чётна (как сумма двух нечётных). Сумма шести последовательных натуральных чисел нечётна (так как её можно разбить на сумму двух и четырёх последовательных натуральных чисел, а сумма чётного и нечётного числа – нечётное число). Таким образом, суммы Никиты и Дениса должны быть нечётными числами, а сумма Семёна должна быть чётным числом. Поскольку ошибся только один, то это Семён. Никита и Денис могли назвать равные суммы, например: 
Комментарий. Полное верное обоснованное решение – 7 баллов. Ответ получен из рассмотрения конкретного примера, но в анализе примера использована идея чётности – 6 баллов. Ответ получен из рассмотрения конкретного примера без попыток обобщения – 2 балла. Не показано, что у Никиты и Дениса суммы могли быть равны – снимать 1 балл. Приведен только верный ответ – 1 балл.
4. Миша съел в полтора раза больше пирожков с малиной, чем Лёша. Зато пирожков с вишней Лёша съел в полтора раза больше, чем Миша. Общее число пирожков, которые съел Миша, составляет 
от общего числа пирожков, которые съел Лёша. Во сколько раз больше Миша съел пирожков с вишней, чем с малиной?
|
|
|
Ответ. 
.
Решение. Пусть Лёша съел одну часть пирожков с малиной, тогда Миша съел 
части. Лёша съел частей пирожков с вишней, тогда Миша съел 
Составим таблицу:
| Лёша | Миша | |
| Малина |
| 
|
| Вишня |
| 
|
откуда 
Нужное отношение равно 
Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Ответ получен подбором чисел, удовлетворяющих условию, но не показано, что другие ответы невозможны – 3 балла. При верном ходе решения допущены ошибки в преобразованиях и – снимать 2 балла за ошибку. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.
5. Группа из 
человек отправилась на экскурсию. У каждого был рюкзак или сумка, или и то и другое. Число людей, которые взяли с собой рюкзак, составляло от 
до 
всех экскурсантов, а число людей, которые взяли с собой сумку, составляло от 
до 
всех экскурсантов. Сколько могло быть людей, взявших и рюкзак, и сумку? Найдите наибольшее и наименьшее значения.
Ответ. От 
до 
Решение. Число людей, которые взяли с собой рюкзак, может принимать значения от 
до 
, число людей, которые взяли с собой сумку – от 
до 
. Сумма может принимать значения от 
до 
Но число людей, взявших и рюкзак, и сумку, входит в эту сумму два раза. Если вычесть это число, найдём общее число экскурсантов, то есть . Отсюда получаем уравнения 
. Наибольшее число 
наименьшее число 
|
|
|
Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Баллы раскладываются так: найдены только границы чисел людей, взявших отдельно сумку и рюкзак – по 1 баллу. Найдены границы суммы – ещё 1 балл. Найдены наибольшее и наименьшее значения – ещё по 2 балла за каждое. За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снижать на 1 балл за каждую ошибку. Приведен только ответ – 0 баллов.
Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2019/20 уч.г.
Математика, 7 класс, решения
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 28; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!