Теоретико-множественные понятия.
Содержание курса математики.
Арифметика.
Натуральные числа.
1) Натуральный ряд. Изображение натуральных чисел и числа ноль на координатном луче. Сравнение натуральных чисел и двойное неравенство.
2) Десятичная система счисления.
3) Арифметические действия с натуральными числами.
4) Свойства арифметических действий.
5) Метод Гаусса сложения натуральных чисел.
6) Степень с натуральным показателем.
7) Числовое выражение, значение числового выражения.
8) Порядок действий в числовых выражениях, использование скобок.
9) Буквенные выражения. Упрощение буквенных выражений с раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Поиск значения буквенного выражения при заданных значениях переменных.
10) Решение текстовых задач арифметическими способами и с применением формул.
11) Делители и кратные.
12) Признаки делимости на 2,3,5,9 и 10.
13) Свойство делимости алгебраической суммы и произведения.
14) Простые и составные числа.
15) Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и Наименьшее общее кратное
16) Деление с остатком.
Дроби.
17) Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби и смешанные числа.
18) Основное свойство дроби.
19) Правильные и неправильные дроби и смешанные числа.
20) Аликвотные дроби.
21) Изображение дробей и смешанных чисел на координатном луче. Сравнение обыкновенных дробей.
|
|
|
22) Приведение дробей и смешанных чисел к общему знаменателю.
23) Арифметические действия с обыкновенными дробями.
24) Нахождение части от целого и целого по его части.
25) Десятичные дроби. Чтение и запись десятичных дробей. Перевод обыкновенной дроби в десятичную запись и наоборот.
26) Изображение десятичных дробей на координатном луче. Сравнение десятичных дробей.
27) Арифметические действия с десятичными дробями. Взаимно обратные числа.
28) Периодические и непериодические десятичные дроби.
29) Проценты; нахождение процента от величины и величины по ее процентам.
30) Отношение; выражение отношения в процентах. Элементы отношения и его основное свойство. Задачи на деление в данном соотношении.
31) Масштаб.
32) Пропорция; основное свойство пропорции.
33) Прямо пропорциональные величины и обратно пропорциональные величины. Задачи на прямую и обратную зависимости.
34) Решение задач на проценты способом пропорции.
35) Задачи на совместную работу.
36) Сложные задачи на движение по реке.
37) Решение текстовых задач на сложные проценты.
38) Диаграммы (столбчатые, линейные, точечные, гистограммы) и круговая диаграмма.
|
|
|
Рациональные числа.
39) Положительные и отрицательные числа, модуль числа. Противоположные числа.
40) Изображение рациональных чисел на координатной прямой. Сравнение рациональных чисел.
41) Круги Эйлера- Венна. Множество натуральных и целых чисел.
Множество рациональных чисел; рациональное число как отношение 
, где m — целое число, n — натуральное.
42) Арифметические действия с рациональными числами.
Свойства арифметических действий. Упрощение буквенных выражений.
43) Степень с целым показателем.
Действительные числа.
44) Круги Эйлера- Венна. Множество натуральных и целых чисел.
Множество рациональных чисел; рациональное число как отношение , где m — целое число, n — натуральное.
Множество иррациональных и действительных чисел.
45) Квадратный корень из числа. Свойства арифметического квадратного корня.
46) Корень третьей степени.
47) Запись корней с помощью степени с дробным показателем.
48) Понятие об иррациональном числе.
Иррациональность числа и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата.
49) Десятичные приближения иррациональных чисел.
50) Множество действительных чисел; представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями.
|
|
|
51) Изображение чисел точками координатной прямой . Сравнение действительных чисел.
52) Числовые промежутки. Объединение и пересечение числовых промежутков.
Измерения, приближения, оценки.
53) Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости.
54) Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире.
55) Выделение множителя — степени десяти в записи числа.
56) Приближенное значение величины, точность приближения.
57) Округление натуральных чисел и десятичных дробей.
58) Прикидка и оценка результатов вычислений. Абсолютная и относительная погрешности. Размах, Мода, Медиана и Дисперсия статистических данных.
Алгебра.
Алгебраические выражения.
1) Порядок действий в числовых выражениях, использование скобок.
2) Буквенные выражения. Упрощение буквенных выражений с раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Поиск значения буквенного выражения при заданных значениях переменных.
3) Область допустимых значений переменных.
4) Степень с натуральным показателем и ее свойства.
|
|
|
5) Одночлены и многочлены. Их стандартный вид и степень.
6) Сложение, вычитание, умножение многочленов.
7) Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Формулы сокращенного умножения 3-его порядка.
8) Решение текстовых задач на составление и применение формул сокращенного умножения.
9) Разложение многочлена на множители способом группировки и с применением формул сокращенного умножения. Поиск корня многочлена.
10) Квадратный трехчлен; формула корней квадратного уравнения в случае чётного второго коэффициента. Теорема Виета.
11) Разложение квадратного трехчлена на множители.
12) Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей.
13) Степень с целым показателем и ее свойства.
14) Стандартный вид числа. Большие и малые величины.
15) Тригонометрические выражения и их преобразования. Основные тригонометрические тождества.
16) Формулы двойного и половинного аргументов, преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Формулы алгебраической суммы аргументов тригонометрических функций.
17) Формулы приведения и знаки тригонометрических функций.
18) Понятие логарифма. Решение логарифмических выражений согласно свойствам логарифма.
19) Понятие производной с помощью пределов. Её геометрический и физический смысл.
20) Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Производная сложной функции.
21) Производные тригонометрических функций.
22) Производная показательной функции.
23) Производная логарифмической функции .
24) Понятие первообразной и неопределенного интегралла.
25) Понятие определенного интегралла. Формула Ньютона- Лейбница. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интегралла.
26) Табличные значения интегралла.
27) Иррациональные выражения.
Уравнения.
28) Линейное уравнение с одной переменной.
29) Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.
30) Линейное уравнение, содержащее переменную под знаком модуля.
31) Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета.
32) Решение уравнений (биквадратные уравнения и способ введения новой переменной) и текстовых задач, сводящихся к линейным и квадратным уравнениям.
33) Примеры решения уравнений третьей и четвертой степени.
34) Решение дробно-рациональных уравнений.
35) Линейное уравнение с двумя переменными, примеры решения уравнений.
36) Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем. Решение способом подстановки и методом алгебраического сложения.
37) Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
38) Решение текстовых задач, сводящимся к линейным уравнениям с двумя переменными .
39) Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными: угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых. Совпадающие прямые.
40) Графики простейших нелинейных уравнений: параболы, кубической параболы, гиперболы, окружности.
41) Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
42) Тригонометрические уравнения. Табличные значения и значения в особых случаях.
43) Показательные уравнения.
44) Логарифмические уравнения.
45) Уравнение касательной к графику функции.
46) Иррациональные уравнения.
Неравенства.
47) Числовые неравенства и их свойства. Алгебраические действия между двумя неравенствами.
48) Линейные неравенства с одной переменной. Равносильность неравенств. Промежутки. Объединение и пересечение числовых промежутков.
49) Квадратные неравенства. Метод интервалов.
50) Линейная система неравенств с одной переменной.
51) Нелинейная система неравенств с одной переменной.
52) Линейная система неравенств с двумя переменными.
53) Нелинейная система неравенств с двумя переменными.
54) Тригонометрические неравенства.
55) Показательные неравенства.
56) Логарифмические неравенства.
Функции .
Основные понятия.
1) Понятие функции. Способы задания функции.
2) Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.
3) Область определения и область значений.
4) Область допустимых значений.
5) Нули функции.
6) Промежутки знакопостоянства.
7) Непрерывность функции. Разрывные функции.
8) Чётность функции.
9) Периодичность функции.
10) Экстремумы и промежутки возрастания и убывания. Точка перегиба.
Числовые функции.
11) Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики и свойства.
12) Линейная функция, ее график и свойства.
13) Квадратичная функция, ее график и свойства. Канонический вид параболы.
14) Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства.
15) Графики функций 
.
16) Графики тригонометрических функций.
17) Графики обратных тригонометрических функций.
18) График показательной функции.
19) График окружности.
20) График логарифмической функции.
21) Графики нелинейных функций, содержащих либо переменную, либо выражение под знаком модуля.
22) Исследование функции с помощью производной.
Числовые последовательности.
23) Понятие числовой последовательности.
24) Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
25) Арифметическая прогрессия. Формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы первых n членов. Метод математической индукции для доказательства суммы первых n членов.
26) Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена геометрической прогрессии, суммы первых n членов. Формула суммы n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
27) Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости.
28) Линейный и экспоненциальный рост.
29) Понятие предела последовательности. Основные свойства предела.
Вероятность и статистика.
Описательная статистика.
1) Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
2) Абсолютная и относительная частоты. Полигон частот.
3) Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, мода, размах, дисперсия.
4) Репрезентативные и нерепрезентативные выборки.
Случайные события и вероятность.
5) Понятие о случайном опыте и случайном событии. Частота случайного события.
6) Статистический подход к понятию вероятности.
7) Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий.
8) Умножение вероятностей.
9) Достоверные и невозможные события. Несовместные события.
10) Равновозможность событий.
11) Классические модели теории вероятностей.
Комбинаторика.
12) Решение комбинаторных задач перебором вариантов.
13) Закон распределения случайной величины. Бином Ньютона.
14) Комбинаторное правило умножения.
15) Перестановки и факториал.
16) Решение комбинаторных задач на размещения и сочетания.
Геометрия.
Наглядная геометрия.
1) Наглядные представления о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, окружность, круг. Четырехугольник, прямоугольник, квадрат. Треугольник, виды треугольников. Правильные многоугольники. Изображение геометрических фигур.
2) Аксиомы планиметрии. Понятие плоскости и полуплоскости.
3) Взаимное расположение двух прямых, двух окружностей, прямой и окружности.
4) Перпендикуляр и наклонная к прямой. Проекция. Расстояние между двумя прямыми и расстояние от точки до прямой и плоскости.
5) Длина отрезка, ломаной. Периметр многоугольника. Единицы измерения длины.
6) Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
7) Понятие площади фигуры; единицы измерения площади. Равновеликие и равносоставленные фигуры.
8) Приближенное измерение площади фигур на клетчатой бумаге.
9) Изображение пространственных фигур : куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, сфера, конус, усечённый конус и цилиндр.
10) Примеры сечений. Апофема.
11) Правильные многогранники.
12) Примеры разверток многогранников и тел вращения.
13) Понятие объема; единицы объема.
14) Геометрические преобразования на плоскости. Понятие о движении: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос, поворот.
15) Понятие о подобии фигур и гомотетии.
16) Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки: деление отрезка пополам; построение угла, равного данному; построение треугольника; построение перпендикуляра к прямой; построение биссектрисы угла; деление отрезка на n равных частей.
17) Аксиомы стереометрии. Некоторые простые следствия аксиом стереометрии.
Геометрические фигуры и измерение геометрических величин.
1) Прямые и углы. Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч.
2) Виды углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла.
3) Параллельные и пересекающиеся прямые. Признаки параллельности прямых.
4) Перпендикулярные прямые.
5) Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.
6) Перпендикуляр и наклонная к прямой. Проекция.
7) Серединный перпендикуляр к отрезку.
8) Геометрическое место точек.
9) Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.
10) Треугольник. Виды треугольников (классификация по углам и по сторонам).
11) Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника.
12) Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника.
13) Признаки равенства треугольников (произвольных и прямоугольных)
14) Неравенство треугольника.
15) Соотношения между сторонами и углами треугольника.
16) Сумма углов треугольника.
17) Внешние углы треугольника.
18) Теорема Фалеса.
19) Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (произвольных и прямоугольных).
20) Соотношения между площадями подобных фигур.
21) Теорема Пифагора.
22) Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до 180°; приведение к острому углу.
23) Формулы приведения и знаки тригонометрических функций.
24) Решение прямоугольных треугольников.
25) Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике с биссектрисами.
26) Основное тригонометрическое тождество. 6 основных тригонометрических формул.
27) Решение треугольников: теорема косинусов и теорема синусов.
28) Замечательные точки треугольника.
29) Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки.
30) Трапеция, средняя линия трапеции.
31) Многоугольник.
32) Ломанная и выпуклые многоугольники.
33) Сумма углов выпуклого многоугольника. Количество диагоналей выпуклого многоугольника.
34) Правильные многоугольники.
35) Окружность и круг. Формулы расчёта длины окружности и площади круга.
36) Дуга, хорда, диаметр и радиус.
37) Сектор, сегмент. Формула площади сегмента и сектора.
38) Центральный угол, вписанный угол; величина вписанного угла.
39) Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.
40) Касательная и секущая к окружности, их свойства.
41) Вписанные и описанные 4-хугольники и многоугольники. Теорема о сумме углов и сумме сторон вписанных и описанных 4-хугольников.
42) Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.
43) Теорема о вписанном треугольнике, у которого одна сторона является диаметром.
44) Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.
45) Площадь треугольника. Формула Герона. Площадь треугольника через радиус вписанной и описанной окружности. Площадь треугольника через синус угла между двумя сторонами.
46) Площадь 4-угольников: прямоугольника, ромба, квадрата, параллелограмма и трапеции.
47) Формулы площади полной, боковой поверхности и объема многогранников ( параллелепипеда, куба, призмы, пирамиды и усечённой пирамиды).
48) Формулы площади полной, боковой поверхности и объема тед вращения.
49) Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости в пространстве. Параллельность плоскостей в пространстве. Свойства и признаки.
50) Перпендикулярность прямых в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве. Перпендикулярность плоскостей в пространстве. Свойства и признаки. Теорема о трёх перпендикулярах.
51) Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Угол между двумя плоскостями в пространстве. Двугранный угол.
Координаты.
1) Уравнение прямой (на плоскости и в пространстве).
2) Координаты середины отрезка. Деление отрезка в данном соотношении.
3) Формула расстояния между двумя точками плоскости.
4) Уравнение окружности.
Векторы.
5) Понятие вектора. Длина (модуль) вектора (на плоскости и в пространстве). Равенство векторов.
6) Коллинеарные векторы (на плоскости и в пространстве).
7) Координаты вектора (на плоскости и в пространстве).
8) Сумма векторов (построение и координаты) методом параллелограмма и треугольника. Умножение вектора на число, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам (на плоскости и в пространстве).
9) Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Признак перпендикулярности векторов (на плоскости и в пространстве).
10) Уравнение плоскости через координаты векторов.
Логика и множества .
Теоретико-множественные понятия.
1) Множество, элемент множества.
2) Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством.
3) Стандартные обозначения числовых множеств.
4) Пустое множество и его обозначение.
5) Подмножество.
6) Объединение и пересечение множеств, разность множеств.
7) Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера–Венна.
Элементы логики.
8) Определение.
9) Аксиомы и теоремы.
10) Доказательство.
11) Метод Математической индукции.
12) Доказательство от противного.
13) Теорема, обратная данной.
14) Пример и контрпример.
Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок «если …, то …», «в том и только том случае», логические связки «и», «или».
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 34; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!