Требования к содержанию отчета по работе

Практическая работа № 22

Тема. Призма. Параллелепипед. Куб.

Цель работы: научиться решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин

В результате выполнения работы студенты осваивают следующие результаты обучения в соответствии с ФГОС:

Умения

- решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов)

Знания

- историю возникновения и развития геометрии

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.

2. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

3. Сделайте выводы по результатам работы

Теоретическая часть

Призма

1.1. Понятие многогранника

1. Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников (многоугольник – это плоскостная фигура) и ограничивающая некоторое геометрическое тело;

2. Элементы многогранника: грани (многоугольники, из которых составлен многогранник), ребра (стороны граней), вершины (концы ребер), диагональ (отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной грани). По рисунку 1. Определите количество ребер, вершин, граней приведенных многогранников;

3. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые

4. Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В – Р + Г = 2, где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней данного многогранника.

1.2. Призма

Определение. Призма –это многогранник, составленный из двух равных n – угольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n одинаковых параллелограммов.

Рассмотрим два одинаковых многоугольника, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки, соединяющие их вершины, идут параллельно (см. рис.)

Какой многоугольник лежит в основании, так и называется призма:

треугольник – треугольная, четырехугольник – четырехугольная и т.д.

На рисунке изображена наклонная пятиугольная призма.

Обозначение: ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ – наклонная пятиугольная призма.

Элементы:

ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁ – нижнее и верхнее основания;

AA₁B₁B, AA₁E₁E … - боковые грани (параллелограммы – по определению);

AA₁, BB₁, CC₁ … - боковые ребра;

A, B, C, А₁, B₁, C₁… - вершины;

Боковые ребра AA ₁ = BB ₁ = … = CC ₁ (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями);

Высота – это перпендикуляр между основаниями, h = OO₁ .

1.3. Виды призм

Наклонная – боковые ребра не перпендикулярны к основаниям;

Прямая – боковые ребра перпендикулярны к основаниям.

В прямой призме:

1) боковое ребро является высотой (h = AA₁ = BB₁…)

2) боковые грани – прямоугольники.

Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д.). В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если призма правильная, то она обязательно прямая. Обратное утверждение неверно.

Пример. На рисунке изображена правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁:

ΔABC – правильный, т.е. в нем равны стороны, углы, совпадают центры вписанной и описанной окружностей и т.п.

Самостоятельно: изобразите правильную четырехугольную призму. Действительно, это прямоугольный параллелепипед, в основании которого – квадрат. Определите, центры и радиусы вписанной т описанной окружностей.

1.4. Площадь поверхности призмы

· Полная поверхность призмы складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Боковая поверхность – это поверхность, составленная из боковых граней. Таким образом:

;

· Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

Решение задач

Задача 1. Диагональ куба равна 3. Найдите площадь его поверхности.

Решение. Пусть ребро куба – a. Тогда куб состоит из 6 равных квадратов, площадь каждого из которых a ² .

Ответ: 18

Задача 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в два раза?

Решение. . Ответ: в 4 раза

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде . Найдите длину ребра DC.

Решение. Известны два измерения и диагональ параллелепипеда. Тогда по формуле:

. Ответ: 3

Задача 4. Основанием прямого параллелепипеда (прямой призмы) является ромб с диагоналями 10см и 24см. Высота параллелепипеда – 10см. Найти: 1) площадь полной поверхности призмы; 2) большую диагональ призмы.

Делаем рисунок. Ромб в основании изображается в виде произвольного параллелограмма.

Призма прямая – значит, на рисунке около любого бокового ребра ставим h. Определяем, какая диагональ будет наибольшей.

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямая призма

Основание ABCD – ромб AC = 24см, BD = 10см

h = 10см

Найти: 1) S _п_._п_. 2) A₁C

Решение:

1.1) (см. «Площади фигур»)

1.2)

P _осн = P_ABCD = 4∙ AB т.к. стороны ромба равны.

Ищем сторону AB. Для этого изобразим ромб ABCD в плоскости листа.

В параллелограмме точкой пересечения диагонали делятся пополам.

Особое свойство ромба – диагонали пересекаются под прямым углом.

Тогда из ΔABO:

Подставляем и считаем P_осн = 4∙13 = 52

S_б.п. = 52∙10 = 520

2) В данном параллелепипеде четыре попарно равные диагонали: A₁C = AC₁ и BD₁ = B₁D.

Диагонали равны как гипотенузы прямоугольных треугольников с равными катетами. Поскольку AC > BD по условию, то A₁C > B₁D.

Из ΔACA₁ :

Ответ: 760см², 26см

1.1. Понятие правильного многогранника

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.

Все существующие трехмерные правильные многогранники были открыты еще древнегреческим математиком Платоном и его школой, поэтому часто их так и называют – Платоновы тела

1.2. Виды правильных многогранников

В природе существует всего пять правильных многогранников. Это:

· Правильный тетраэдр. Он состоит их четырех правильных треугольников; в каждой вершине сходятся по три равных ребра;

· Куб. Состоит из шести равных квадратов; в каждой вершине сходятся три ребра;

· Правильный октаэдр. Состоит из восьми равных правильных треугольников; в каждой вершине сходятся четыре ребра;

· Правильный додекаэдр. Состоит из двенадцати равных правильных пятиугольников; в каждой вершине сходятся три ребра;

· Правильный икосаэдр. Состоит из двадцати равных правильных треугольников; в каждой вершине сходятся пять ребер.

Найдите на рисунке перечисленные многогранники

1.3. Задания

Определим сумму плоских углов при вершинах правильных многогранников.

Например, в правильном тетраэдре: в вершине сходятся три правильных треугольника, значит, сумма плоских углов при вершине (трехгранный угол).

В правильном додекаэдре: в вершине сходятся три правильных пятиугольника. Каждый угол правильного пятиугольника равен 108⁰, значит, сумма плоских углов при вершине (трехгранный угол).

Самостоятельно определите суммы плоских углов при вершинах куба, октаэдра и икосаэдра.

Помимо плоских углов при вершинах можно определить количество осей симметрии в правильных многогранниках.

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

· Понятие многогранника

· Определение призмы

· Правильная призма

· Виды призм

· Формула площади поверхности призмы

· Сечение призмы плоскостью

Приложение

Вариант.

1) Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 4см, а диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45º. Найти:

а) диагональ призмы;

б) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

2) Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна т, а острый угол равен 60º. Через катет, противолежащий этому углу, и противоположную этому катету вершину другого основания проведено сечение, составляющее 45º с плоскостью основания. Вычислить площадь основания призмы, высоту призмы.

Вариант.

1) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 6см и образует с плоскостью основания угол в 30º.

Найти: а) сторону основания призмы, б) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагонали основания призмы.

2) Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6, высота призмы равна 9. Через сторону основания и противоположную вершину другого основания проведено сечение. Найти:

а) высоту основания призмы;

б) угол между плоскостями основания и сечения призмы.

Вариант.

1) Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 6см, а диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45º. Найти:

а) диагональ призмы;

2) Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна п, а острый угол равен 30º. Через катет, противолежащий этому углу, и противоположную этому катету вершину другого основания проведено сечение, составляющее 45º с плоскостью основания. Вычислить площадь основания призмы, высоту призмы.

Вариант.

1) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 8см и образует с плоскостью основания угол в 60º.

2) Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4см, высота призмы равна 6см. Через сторону основания и противоположную вершину другого основания проведено сечение. Найти:

а) высоту основания призмы;

б) угол между плоскостями основания и сечения призмы.

Вариант.

1) Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8см, а диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45º. Найти:

а) диагональ призмы;

Вариант.

1) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 8см и образует с плоскостью основания угол в 30º.

а) высоту основания призмы;

б) угол между плоскостями основания и сечения призмы.

Вариант.

а) диагональ призмы;

Вариант.

1) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 12см и образует с плоскостью основания угол в 60º.

а) высоту основания призмы;

б) угол между плоскостями основания и сечения призмы.

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 14; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!