Аналитическое решение нестационарных задач теплопроводности

Охлаждение неограниченной пластины ( )

Рассмотрим плоскую пластину толщиной (см. рис. 1.). Заданы теплофизические параметры пластины: , , и . Будем считать, что пластина неограниченная, т.е. длина и ширина пластины много больше её толщины.

Рис. 1. Охлаждение неограниченной
пластины

С левой и правой сторон заданы одинаковые граничные условия третьего рода. При этом температура окружающей среды и коэффициенты теплоотдачи являются постоянными величинами. Градиенты температур по направлениям и равны нулю, а изменение температуры происходит только по координате ( ). Температура в нулевой момент времени в каждой точке пластины постоянна: . При этом будем считать, что .

Для решения задачи сместим начало координат относительно температуры на величину температуры окружающей среды и введем новую переменную , которая определяется выражением .

Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в одномерной постановке относительно переменной запишется:

. (2)

Для переменной начальное условие примет вид:

. (3)

В связи с тем, что задача симметрична относительно оси симметрии совместим начало координат по с осью пластины (см. рис. 1.16).

При этом

при . (4)

Из симметрии температуры следует, что

при . (5)

Таким образом, достаточно определить температуру для одной половины пластины, например для правой, а на левой половине воспользоваться условием (1.126) в тот же момент времени.

Граничное условие на поверхности пластины при запишется

при . (6)

Решением дифференциального уравнения (2) является:

, (7)

Здесь: – корни характеристического уравнения

; (8)

– безразмерное число Био.

Характеристическое уравнение (1.143) имеет бесконечное множество решений , , … , , … (см рис. 1.17), причем .

Рис. 2. К решению уравнения (8)

Охлаждение бесконечного цилиндра ( )

Цилиндр, радиус которого намного меньше его длины, в начальный момент времени имеет по сечению одинаковую температуру . Охлаждение цилиндра происходит через его боковую поверхность при условии, что коэффициент теплоотдачи во всех точках боковой поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура окружающей среды и теплофизические свойства цилиндра постоянны. При заданных условиях температурное поле внутри цилиндра будет симметричным относительно оси цилиндра, и будет зависеть от текущего радиуса и времени . Как и в предыдущем разделе, введем переменную .

При этих условиях дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат запишется:

. (9)

Начальные и граничные условия:

при .

при

Решением дифференциального уравнения (5) является:

. (10)

Здесь: – корни характеристического уравнения

. (11)

– безразмерное число Био.

Охлаждение шара ( )

Рассмотрим охлаждение шара радиусом в среде с постоянной температурой и с постоянным коэффициентом теплоотдачи на его поверхности. Температура среды постоянна. Начальное распределение температуры задано: . Отсчет температуры шара будем вести, как и в предыдущих разделах, от температуры окружающей среды . Требуется найти распределение температуры внутри шара в произвольный момент времени.

При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид:

. (12)