Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Если дифференциальное уравнение может быть представлено в виде Р(x ) dx = Q(t)dt, где функция Р(x) зависит только от x, а функция Q(t) зависит только от t, то говорят, что переменные разделяются. В этом случае имеем
.
Пример 1. Точка движется прямолинейно со скоростью V = gt (V в м/ c, t в c). Найти закон ее движения, если при t = 0 x0 = 1 м.
Решение. Так как
и движение точки описывается дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: dx = gtdt. В результате интегрирования получаем: x = gt2/2 + C. Подставив в это уравнение начальное условие x0 = 1 м при t = 0, получим: С = 1 м. Следовательно, закон движения точки имеет вид: x = (gt2/2 + 1) м.
Пример 2. Точка движется прямолинейно со скоростью V = 5x (м/ c). Найти закон движения точки, если при t = 0 x0 = e (м).
Решение. Так как
В результате интегрирования получаем: ln x = 5t + C . Используя начальные данные, находим постоянную: С = ln e = 1 м. Следовательно, закон движения точки имеет вид x = e5t+1 (м).
II. Контрольные вопросы:
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Что называется порядком дифференциального уравнения?
3. Что называется решением дифференциального уравнения?
4. Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое – частным?
5. Сформулируйте задачу Коши.
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!