Общий вид представления аберраций третьих порядков.

Лекция 3

Общий вид выражений для аберраций третьего порядка

 

Напомним, что на предыдущей лекции мы получили следующие выражения для производных углового эйконала по направляющим косинусам луча в пространстве предметов μ, ν

              dW/dμ = ny

              dW/ dν = nz                                                      (10)

и по направляющим косинусам μ’, ν’ того же луча в пространстве изображений

              dW/dμ’ = - n’y’

                        dW/ dν’ = -n’z’                                                   (9)

Системы уравнений (9-10) показывают, что если бы угловой эйконал W(μ, ν, μ’, ν’) был известен в явном виде, то дифференцируя его по каждой из переменных и подставляя в выражение производных численне значения направляючих косинусов μ, ν, μ’, ν’ для рассматриваемого луча, можно получить координаты точки пересечения луча с плоскостью YZ (или Y’Z’), которые естественно принять за плоскости предмета и изображения. Рассматривая ряд лучей , исходящих из одной и той же точки плоскости предмета и вычисляя все производные, соответствующие этим лучам, можно получит ряд значений для точек пересечения этих лучей с плоскостью изображения.

Таким образом, функция W определяет точку пересечения луча с плоскостью изображения, что является основной задачей расчета хода луча и вычисления аберрационных характеристик оптической системы. Однако функция W, за исключением очень малого числа случаев, не может быть выражена в конечном виде как функция от μ, ν, μ’, и ν’ и ее приходится выражать в виде ряда, расположенного по степеням μ, ν, μ’, ν’.

 

Итак, переходим к вопросу по выводу общего вида выражений для аберраций третьего порядка. Пусть LL’ на Рис. 1 – центрированная оптическая система

Рис. 1.

ОО – плоскость предметов;

O’O’ – плоскость изображения;

PP и P’P’ – плоскости входного и выходного зрачков;

А – точка предмета, лежащая в меридиональной плоскости на расстоянии y = l от оси;

ABCDEF – луч, определяемый координатами m и M точки его пересечения с плоскостью входного зрачка. Этот луч пересекает плоскость изображения O’O’ в точке  F, координаты которой y’и z’. Если система была бы идеальной, то мы должны были бы иметь y’ = βy, z’ = βz = 0, где β – линейное увеличение.

Отступления y’ – βy = δg’ и z’ – βz = δG’представляют собой меридиональную и сагиттальную поперечные аберрации, то есть расстояния между идеальным изображением A₀’ точки А и точкой F пересечения луча с плоскостью изображения.

Очевидно, что меридиональная и сагиттальная составляющие поперечной аберрации являются функциями как от координат падающего луча l, m и M, так и от конструктивных элементов оптической системы и положения плоскостей предмета и входного зрачка.

Считая оптическую систему известной, рассмотрим δg’ и δG’ как функции от одних только координат луча l, m и M, так что

 

δg’ = f₁(l, m, M) и δG’ = f₂(l, m, M).                                 (11)

 

Эти функции могут быть разложены в ряд Маклорена по величинам

l/e, m/e и M/e,

которые можно считать величинами первого порядка малости, то получим

δg’ = Σq_ijkmⁱM^jl^k

δG’= Σt_ijkmⁱM^jl^k                   (12)

где q_{ijk ,} t_{ijk –} постоянные коэффициенты, зависящие от конструктивных параметров оптических систем, положения, положения плоскости предметов и положения зрачка,

i, j, k – целые числа (показатели степени), сумма этих чисел i+j+k=D определяет порядок данного слагаемого.

Вследствие симметрии оптической системы относительно оптической оси легко установить, что функции f₁(l, m, M) и f₂(l, m, M) не могут содержать членов четных порядков, так как присутствие таких членов нарушило бы выполнение условий

f₁(-l, -m, -M) = - f₁(l, m, M);

f₂(l, m, -M) = - f₂(l, m, M),                                                                  (13)

f₁(l, m, -M) = f₁(l, m, M);

обусловленных симметрией системы.

Итак, вследствие симметрии оптической системы относительно оптической оси сумма степеней i + j + k должна быть нечетной, то есть

                                i + j + k = 2n + 1                         (18)    

Сумма степеней i, j, k определяет порядок каждой отдельной аберрации (17). Если плоскость изображения совпадает с гауссовой плоскостью изображения, то в этом случае отсутствуют в разложении члены первого порядка. Члены первого порядка появляются, когда мы рассматриваем аберрации в плоскости, не совпадающей с плоскостью Гаусса. Вопросы расфокусировки плоскости изображения мы рассмотрим в дальнейшем

Отдельные аберрации, для которых i + j + k = 3 называются аберрациями третьих порядков.

Если эта сумма индексов равна пяти, семи и так далее, то приходим соответственно к слагаемым, описывающим аберрации пятого, седьмого и так далее порядков, которые относят к аберрациям высших порядков.

Группируя в степенных рядах (12) отдельные аберрации одного порядка, мы можем записать выражения для меридиональной δg’ и сагиттальной δG’ составляющих поперечной аберрации в виде составляющих аберраций различных порядков, то есть аберраций первого, третьего, пятого и более высоких порядков

 

δg’ = δg’_I + δg’_III + δg’_V + δg’_VII + …                                   (19)

δG’ = δG’_I + δG’_III + δG’_V + δG’_VII + …

 

Как можно показать, число независимых отдельных аберраций третьего порядка равно пяти, число отдельных аберраций пятого порядка равно девяти. В общем случае, число Nχ отдельных аберраций χ порядка можно вычислить по следующей формуле

 

                   – 1                                   (20)       

 

χ	1	3	5	7	9	11	13
Nχ	2	5	9	14	20	27	35

 

Таблица 9.1

Число отдельных аберраций различных порядков.

 

Отметим, что аберрации первого порядка являются “фиктивными аберрациями” и выражают факт появления аберраций при несовпадении плоскости установки с плоскостью Гауссового изображения.

Плоскость, в которой фигура рассеяния и, соответственно, аберрации имеют наименьшие величины, называется плоскостью наилучшей установки (ПНУ). Произвольное смещение плоскости изображения относительно плоскости параксиального изображения называют дефокусировкой. Отметим, что в общем случае ПНУ не совпадает с плоскостью параксиального изображения.

 

Аберрации первого порядка

 

Аберрации первого порядка описывают изменение аберраций при смещении плоскости установки относительно плоскости параксиального изображения. На рисунке 9.1 показано появление аберраций первого порядка при дефокусировке Δ в общем случае внеосевой точки изображения.

 

 

Рисунок 9.1

Появление аберраций первого порядка при смещении Δ плоскости установки от параксиальной плоскости установки

 

 

Если плоскость изображения совпадает с параксиальной плоскостью Q, аберрация δg’ равна нулю. При сдвиге Δ получаем

 

откуда

                             

Но  e’ = s’_p – s’, откуда

                                                      (21)  

Аналогично,

 

 

Переходя к полярным координатам в плоскости выходного зрачка и принимая за полярную ось О’у’, имеем

m’ = ρ’cos φ, M’ = ρ’sin φ,

где ρ’ и φ – полярные координаты точки (m’, M’).

Тогда

δg’ = аρ’ cos φ,

                              δG’ = аρ’ sin φ,

откуда

δg’² + δG’² = а² ρ’²                             (24) (9.10)

 

 

Общий вид представления аберраций третьих порядков.

 

В теории аберраций третьих порядков рассматриваются только члены разложения аберрационных функций (12) только третьего порядка, так как только для этих членов получены аналитические выражения, пригодные для практических применений. В этом случае после некоторых преобразований для меридиональной и сагиттальной поперечной аберрации можно записать

 

δg’ = A₁(m’² + M’²)m’ + B_ll(3m'² + M'²) + C₁l²m’ + E₁l³ ,        

δG’ = A₁ (m’² + M’²)M’ + 2B₁ lm’M’ + D₁ l²M’ ,      (22)   

 

где коэффициенты A1, B1, C1, D1, и E1 – коэффициенты, зависящие только от постоянных оптической системы и от положения плоскостей предмета и входного зрачка, но не зависящие от координат луча.

Мы получили общее представление для меридиональной и сагиттальной составляющих аберраций третьего порядка, так как сумма степеней произведения переменных m’, M’, l равна трем. Величины m’, M’, l являются величинами 1-го порядка малости по сравнению с фокусным расстоянием оптической системы. Сразу же стоит отметить, что основная роль теории аберраций третьего порядка состоит не в том, чтобы проводить вычисление аберраций заданных оптических систем, а именно в том, чтобы получит инструмент для построения (синтеза) новых оптических систем по заданному техническому заданию на разработку, или же для проведения исследований аберрационных свойств оптических систем и выявления их коррекционных возможностей.

Представление (16) содержит 5 независимых коэффициентов, которые определяют 5 отдельных аберраций третьего порядка для которых характерна своя геометрическая фигура рассеяния. Исследованием фигур рассеяния каждой отдельной аберрации мы займемся на следующих лекциях. Сейчас только отметим, что коэффициент A₁ определяет сферическую аберрацию, коэффициент В₁ – кому, С₁ и D₁ – астигматизм и кривизну изображения, Е₁ – дисторсию.

 

Чтобы исследовать распределения точек пересечения с плоскостью изображения отдельных лучей данного пучка обычно пользуются следующим приемом: из всего пучка рассматривают непрерывную совокупность лучей, выходящих из одной точки предмета и по выходе из системы пересекающих плоскость выходного зрачка по окружности с центром на оси системы. Каждая такая совокупность лучей в плоскости изображения дает систему точек пересечения, геометрическое место которых есть замкнутая более или менее сложная кривая. Обыкновенно изучают кривые, получающиеся в том случае, когда только один из коэффициентов в формулах

δg’ = A₁(m’² + M’²)m’ + B_ll(3m'² + M'²) + C₁l²m’ + E₁l³ ,        

δG’ = A₁ (m’² + M’²)M’ + 2B₁ lm’M’ + D₁ l²M’ ,      (22)   

не равен нулю, то есть изучают в отдельности кривые аберраций, определяемые только одним коэффициентом.

Если распределение в пучке лучей, выходящих из оптической системы, известно, то в некоторой степени можно судить о распределении световой энергии в пятне рассеяния по большей или меньшей плотности точек пересечения лучей с плоскостью изображения при условии равномерного распределения точек пересечения тех же лучей с плоскостью выходного зрачка. (Ссылка на диаграмму кружка рассеяния)

В дальнейшем при исследовании распределения лучей в пучке будем рассматривать их совокупности, определяемые пятью окружностями в плоскости выходного зрачка с радиусами, величины которых относятся как

1 : 0.8 : 0.6 : 0.4 : 0.2,

то есть образуют арифметическую прогрессию.

 

 

Сферическая аберрация.

Сферическая аберрация, как и кома, относятся к аберрациям широких пучков. Сферической аберрацией называется нарушения гомоцентричности пучков лучей, прошедших через оптическую систему, без нарушения симметрии строения этих пучков (в отличие от комы и астигматизма). В чистом виде сферическая аберрация проявляется при изображении точки расположенной на оптической оси.  

Если все коэффициенты B = C = D = E = 0, то оптическая система обладает только сферической аберрацией третьего порядка; координаты точки пересечения луча с плоскостью изображения определяются уравнениями:

δg’ = A₁(m’² + M’²)m’,

                δG’ = A₁ (m’² + M’²)M’.           (23)

Переходя к полярным координатам в плоскости выходного зрачка и принимая за полярную ось О’у’, имеем

m’ = ρ’cos φ, M’ = ρ’sin φ,

где ρ’ и φ – полярные координаты точки (m’, M’).

Тогда

δg’ = A₁ρ’³ cos φ,

                              δG’ = A₁ρ’³ sin φ,

откуда

δg’² + δG’² = A₁² ρ’⁶ = r’²                       (24) (9.10)

Следовательно, при постоянном значении ρ’ кривая, описываемая лучами, при их пересечении с плоскостью изображения, является окружностью с радиусом, равным

                                         r’ = A₁ ρ’³ .                               (25) (9,11)

Следует отметить, что из соотношения

δg’/ δG’ =  ctg φ

вытекает, что каждой точке на выходном зрачке соответствует точка в плоскости изображения, расположенная в той же плоскости, что и первая.

Из соотношения (9.11) видно, что между окружностями с центрами на оси системы в плоскости выходного зрачка и соответствующими им окружностями в плоскости изображения существует подобие особого рода с переменным масштабом подобия, зависящим от радиуса окружности ρ’. Равномерно нанесенным окружностям на выходном зрачке (рис. 9.2) соответствуют в плоскости изображения окружности с очень быстро растущими радиусами r’ (рис. 9.3).

 

 

Рис. 9.2

 

Рис. 9.3

 

В таблице 9.2 указаны относительные значения r’ и соответствующие им значениям ρ’, причем за единицы для измерения обеих величин условно приняты радиусы окружностей с номерами от 1 до 6 на выходном зрачке.

 

№ кольца	ρ’	r ’
1	0	0
2	0.2	0.008
3	0.4	0.064
4	0.6	0.216
5	0.8	0.512
6	1.0	1.000

 

Таблица 9.2

 

Следует отметить, что площади кольцевых зон кружка рассеяния в плоскости изображения очень быстро растут: лучи сильно концентрируются в середине кружка рассеяния и количество их сильно уменьшается к краям изображения точки. Как можно показать, что если разделить кружок рассеяния радиуса r’ на пять частей, отделенных окружностями, радиусы которых меняются через равные промежутки в 0.2, то в первом кольце (наименьшем) сосредотачивается 34% лучей из числа всех, равномерно заполняющих выходной зрачок, хотя площадь первого кольца составляет всего 4% всей площади кружка рассеяния.

Задача: Показать, что в первом кольце (r₀₁’=0.2) кружка рассеяния концентрируется 34% всех лучей, прошедших через зрачок.

 

Очевидно, что в соотношении (9.11) переменная ρ’ в плоскости выходного зрачка изменяется от нуля до m’_max, в то время как переменная r’ в плоскости изображения соответственно изменяется от нуля до A₁m’_max³. Разделим левую и правую часть соотношения (9.11) на A₁m’_max³

=  

и обозначим r₀’ =  – это нормированная полярная координата в плоскости кружка рассеяния и ρ₀’ = - нормированная переменная в плоскости зрачка. Введенные переменные выражают связь между нормированными координатами точек зрачка и соответствующих номированных переменных точек кружка рассеяния в плоскости изображения

         r₀’ = ρ₀’³, или  ρ₀’ =                           (26)

и изменяются от 0 до 1.

Обозначим световой поток, проходящий через площадь всего зрачка S через Ф. Тогда доля светового потока, проходящего через некоторую часть входного зрачка, будет пропорциональна площади ΔS этой части зрачка. Тогда доля светового потока Ф_l, проходящего через окружность радиуса ρ_0l’ в плоскости выходного зрачка с центром на оси системы будет равна

                    Ф_l =  .                                           (27) Отсюда из соотношений (9.12-13) легко найти долю светового потока, проходящего через окружность радиуса  в плоскости изображения

                    Ф_l =  = ^2/3 .                                   (28)

Рассмотрим задачу определения распределения светового пучка в кружке рассеяния изображения точки при наличии сферической аберрации. Разделим кружок рассеяния десятью окружностями с радиусами, длины которых относятся как 1:0.9=0.8=0.7=0.6=0.5=0.4=0.3=0.2=0.1, то есть образуют арифметическую прогрессию. Тогда доля светового потока, попадающего на единицу площади в кольцевую зону кружка рассеяния между окружностями с номерами l и l-1 будет равна

                        Е_l                                            (29)

Результаты вычислений сведем в Таблицу 9.3.

 

l	r 0 l ’	ρ0 l ’	Ф l			Е l
1	0.1	0.464	0.215	0.215	0.01	21.5
2	0.2	0.585	0.342	0.127	0.03	4.23
3	0.3	0.669	0.448	0.106	0.05	2.12
4	0.4	0.737	0.543	0.095	0.07	1.36
5	0.5	0.794	0.630	0.087	0.09	0.97
6	0.6	0.843	0.711	0.081	0.11	0.74
7	0.7	0.888	0.788	0.077	0.13	0.59
8	0.8	0.928	0.862	0.074	0.15	0.49
9	0.9	0.965	0.932	0.070	0.17	0.41
10	1.0	1.0	1.0	0.068	0.09	0.36

 

Таблица 9.3

---

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!